Matematikkens Historie I

26. Den beregnende Geometri. 201 Overensstemmelsen skjules dog i Anvendelsen ved den Omstændighed, at der i den ene Undersøgelse bruges højere Grænser for de Kvadratrødder, hvortil Overgangen mellem Forholdene mellem forskjeHige Sider i samme retvinklede Trekant {sin 2 x + cos 2 x = 1) giver An- ledning, lavere i den anden, og at disse udtrykkes ved forskjellig formede Konvergenter. Ved at gaa ud fra en retvinklet Trekant med en TC Vinkel og ved gjentagen Overgang til nye Trekanter finder Archimedes, at (med vore trigonometriske Be- tegnelser for de undersøgte Forhold) tg ti 153 96 < 4673J ti 66 °g sin gg > 20^7-r’ og kommer derved til de foran angivne Grænser for tt. Efterat Isen engang var brudt ved Archimedes’ Arbejde, skal Apollonios have givet en endnu nøj- agtigere Beregning. Maaske skyldes Værdien 3,1416, der væsentlig svarer til den Nøjagtighed, som senere findes i Ptolemaios’ Kordetavler, og som vi ville træffe hos indiske Forfattere, ham. Archimedes’ Skrift indeholder faktisk Bestemmelser af lavere Grænser for sin — og højere Grænser for tg for n = 6, 12, 24, 48 og 96. Den sidste giver ogsaa en brugelig højere Grænse for sin og Ari- star ch s Arbejde viser, at man var istand til at bruge denne. Apollonios’ Bestemmelse af % maa have ført til en endnu nøjagtigere Bestemmelse af en Sinus ti] en lille Bue eller af den Størrelse, over hvis Værdier vi have Tabeller fra senere græske Astronomer, nemlig