Matematikkens Historie I

4. Algebra og Taltheori; Geometri. 251 Er b — — 1 eller + 2, vil (5) ogsaa give en Løsning af (2) i hele Tal; thi for b = + 2 er yr2 = a x±2 + 2, og altsaa bliver a x±2 + yx2 = 2 a x±2 + 2 lige. Til- lige ses det af (4), at Kjendskabet til en Løsning af (2) tillader af en Løsning af (1) at udlede uendelig mange. Lykkes det nu for en opgiven Værdi af a ikke ved Forsøg at danne nogen Ligning af Formen (1) hvor b — + 1 eller + 2, benytter man den saakaldte cykliske Methode til at reducere b’s Værdi. Lad & <2?!2 "4~ b x = y i2 være en Ligning, hvor bx alt er saa lille, som det kan opnaas ved Forsøg, hvilke kunne bestaa i at lade være en Tilnærmelsesværdi til ]/ a. x± og b1 inde- holde da ikke nogen fælles Faktor; thi en saadan vilde være kvadratisk Faktor paa begge Sider af Lighedstegnet, og Forkortning vilde give en simplere Ligning af samme Art. Man sætter nu hvoraf a?2 og z kunne bestemmes som hele Tal. Man vælger dem, der gjøre z2 — a saa lille som muligt. 2 __ n Sættes nu —j b2, er dels b2 et helt Tal, dels ax22 + b2 et nyt Kvadrattal y22. Disse Ting bevises let, men de indiske Forfattere bevise hverken dette, eller at man virkelig paa denne Maade kan naa ned til 6 = 1. Dette sidste, som Inderne sikkert ikke besad mathematisk Indsigt nok til rationelt at begrunde, har først Lagrange, der selv har gjenfundet samme Løsning, bevist. Indernes store Talfærdighed har imidlertid lagt sig for Dagen ved, at deres nummeriske Forsøg have ført dem til en fuld-