Matematikkens Historie I

2. Arabernes Arithmetik og Algebra. 269 er, at vi her se det samme blive gjort af en Mand, som fra de græske Forfattere er fuldt fortrolig med Irratio- nalitetsbegrebet, og, som ved den Maade, hvorpaa han skjelner mellem de geometriske Beviser og de arithmetiske Forklaringer, viser, at han er sig bevidst, at de sidste ikke give almengyldige Begrundelser. Som Disciple af Grækerne kunde Araberne derfor ikke blive staaende ved de arithmetiske Forklaringer. Dette se vi af den Algebra, som er efterladt os af den ansete arabiske Mathematiker 'Omar Alchaijämi, der levede i det 11. Aarhundrede. Denne sætter sine Forklaringer af Betydningen af irrationale Rodstørrelser i ligefrem For- bindelse med de strenge græske Begreber. Han skjelner mellem arithmetiske og geometriske Opløsninger af Lig- ninger. De første vil han ikke blot — som Di ofan t, og hvad der i denne Sammenhæng vilde være tilstrække- ligt — have rationale, men ogsaa hele. Da der kan regnes med disse Størrelser, er et arithmetisk Bevis for saadanne Opløsningers Rigtighed tilstrækkeligt. Den anden Art Opløsninger kunne være irrationale, og det er derfor, at de maa fremstilles geometrisk og kræve et geometrisk Bevis. Kvadratrødder og Kubikrødder frem- stilles da ved de fra Grækerne bekjendte Konstruktioner af en og to Mellemproportionaler. For Rodstørrelser af højere Orden lader der sig paa Grund af, at Rummet kun har tre Dimensioner, ikke gjennemføre nogen geo- metrisk Fremstilling, og nogen anden almindelig Frem- stilling kjender Alchaijämi ikke. Ved Dannelsen af Potenser af højere Orden viser han derimod i Overens- stemmelse med E u k 1 i d s Proportionslære hen til Dannelsen af sammensatte Forhold, hvad der jo ogsaa indirekte giver en Forklaring af, hvad de irrationale Rodstørrelser af højere Orden, som vi have truffet hos Alkarchi, maa betyde. Alchaijåmis Opfattelse, hvis theoretiske