Matematikkens Historie I

2. Den pythagoræiske Mathematik. 33 Forhold mellem hele Tal, eller disse Forholds Ligestor- hed med Forhold mellem geometriske Størrelser, som følgelig maatte være kommensurable. Man gjorde Brug af de simple Regninger, f. Ex. Multiplikation, og vidste som Ægypterne, at f. Ex. et Rektangel, naar Flade- enheden er Kvadratet paa Længdeenhed, bliver Produkt af Siderne; men hvis Siderne ere inkommensurable, bliver ikke blot Beviset ved Inddeling i Kvadrater ubrugeligt, men selve Sætningen meningsløs, da det vilde stride mod det ved sædvanlig Regning dannede Be- greb om et Produkt, at Faktorerne vare irrationale Tal. Det er denne Vanskelighed, Pythagoræerne og med dem de følgende græske Mathematikere kom ud over ved en geometrisk Fremstilling af almindelige Størrelser. Det kan vel i første Øjeblik se ud, som om herved kun er lidet vundet, da en vilkaarlig tegnet Linie lige saa vel har en bestemt Størrelse som et vil- kaarlig valgt Tal. Den tegnede Figur benyttes imidlertid kun til at fastholde den Figur, der beskrives, og paa denne kunne Størrelserne have alle de Værdier, som stemme med Beskrivelsen. Fremstillingen af en Stør- relse ved Længden af en Linie kan derved, som Alge- braens Fremstilling ved et Bogstav, anvendes paa kon- tinuert varierende Størrelser. Grækerne kjendte dog lige saa lidt til negative som til imaginære Størrelser; men Trangen til de første bliver noget mindre derved, at selve Figurens Variationer tildels kunne bringe de samme Almindeliggjørelser, som vi nu opnaa ved Brug af negative Størrelser. Det vil af disse Bemærkninger forstaas, at Opera- tionerne med de geometrisk fremstillede Størrelser spille en lignende Rolle som vore algebraiske Operationer. Vi ville derfor kalde Læren om disse geometriske Opera- tioner den geometriske Algebra. Den skal her 3