Matematikkens Historie I

35 3. Den geometriske Arithmetik. I vore Lærebøger i Arithmetik træffer man jevnlig et geometrisk Bevis for, at i et Produkt af hele Tal Faktorernes Orden er ligegyldig. Det bestaar i, at man skriver Enhederne eller Punkter, som fremstille disse, op i et Rektangel. Hver vandret Række indeholder Multiplikandehs Enheder, og Rækkernes Antal er Mul- tiplikator. Ombytning af Rækker og Piller giver da Ombytning af Faktorerne. Benytter man i Stedet for Enere smaa Kvadrater med Siden 1, har man samtidig bevist den geometriske Sætning, at Størrelsen af et Rektangel udtrykkes ved Produktet af Siderne. Hvis man derimod undlader at vælge en bestemt Enhed, faar man, naar Siderne ere kommensurable, at to Rekt- angler forholde sig som Sidernes Produkter. Fra denne Fremstilling haves de af Grækerne jevnlig brugte Benævnelser: rektangulære eller plane Tal, som ere sammensatte af to Faktorer, og den endnu brugelige: Kvadrattal. Rektangulære Tal kaldes lige- dannede, naar B'aktorerne ere proportionale; de for- holde sig da som to Kvadrattal. Af det Kvadrat, som fremstiller et vist Kvadrattal (ft2), faas det næste (/z + l)2 ved langs de to Sider at lægge 2 n nye smaa Kvadrater og endnu et i den derved opstaaende indadgaaende Vinkel. Hele denne Udfyldings- figur, saavel som i Almindelighed en Figur, der frem- kommer som Differens mellem ligedannede og ligedan beliggende Figurer med en Vinkelspids til Fællespunkt, kaldes et Gnomon. Dette bliver i nærværende Tilfælde 2 /z 4- 1. Man finder paa denne Maade, at Kvadrat- tallene kunne dannes som Summer af de første ulige Tal. Lader man 2 n 4- 1 selv være et Kvadrattal, faas 3*