Matematikkens Historie I

4. Den geometriske Algebra. 43 Denne geometriske Omdannelse falder sammen med den algebraiske, hvorved man nu løser Ligning (2) nemlig CD kan dernæst, bestemmes ved den py- thagoræiske Læresætning. Euklids Sætning II, 6 indeholder umiddelbart Løs- ningen af den samme Opgave i en anden Skikkelse, nemlig den at bestemme to Linier (A D og BD): hvis Differens og hvis Rektangel ere givne (Rektanglet = Kvadratet 62), der er den geometriske Form for den: at bestemme to Størrelser, hvis Differens og Produkt ere givne. Da Opgaven ogsaa forekommer i denne anden Skikkelse hos de gamle (se Euklids Data 84), er det uden Betydning, at der ikke hos dem findes nogen Form, hvis Ordlyd ligesaa umiddelbart gjengiver Ligningen x2 — a x = b2 (3) som Fladeanlæggene Ligningerne (1) og (2). Om vi i vort algebraiske Sprog faa Ligning (2) eller (3), beror nemlig kun paa, om vi i vor moderne Omskrivning af Euklid II, 6 sætte i BD=x eller AD—x. Vi se saaledes, at de gamle have behandlet alle Former for Ligninger af 2. Grad, som give positive Rødder, og om andre kunde der ikke være Tale, da negative Størrelser vare et ubekjendt Begreb. (Ellers kunde II, 5 og II, 6 være forenede til en Sætning). For den her meddelte geometriske Løsnings Skyld forud- satte vi dog, at det givne Led, som for Homogenei-