Matematikkens Historie I

4. Den geometriske Algebra. 45 give, at de vare i Besiddelse af de til Fladeanlæg nød- vendige Forudsætninger; men til det simple Fladeanlæg behøves kun Omdannelsen til et Kvadrat. Omdannelsen af en retliniet Figur til et Rektangel har ikke voldt særlige Vanskeligheder. Hvorledes man dernæst har kunnet omdanne et Rektangel til et Kva- drat uden ved Brugen af Begrebet Mellemproportional at støtte sig paa den før Eudoxos ufuldstændige Pro- portionslære, kan ses af Euklid II, 14, der kun bygger paa selve den geometriske Algebra. Konstruktionen beror nemlig paa den nys omtalte Sætning II, 5 (eller 6), ifølge hvilken et Rektangel fremstilles som Differens mellem to Kvadrater, og hvorved Siden i det med Rekt- anglet ligestore Kvadrat kan konstrueres ved den Pytha- goræiske Læresætning. Omdannelsen er den samme som , M~H\2 /a —6\2 ab = \~2~) -(-2-) • Denne Omdannelse indeholder Løsningen af den rent kvadratiske Ligning. En bestemt geometrisk Anvendelse af Fladeanlæg tillægges Pythagoræerne nemlig Konstruktionen af Siden i den regulære Femkant (og Tikant). Denne afhænger som bekjendt af Ligningen x2 = a (a — x), der kan omdannes til a2 — x2 « x, som løses ved et hyperbolsk Fladeanlæg. I II, 11 be- nytter Euklid netop den samme Omdannelse af Lig- ningen i geometrisk B'orm til at faa Opgaven løst. Sætningerne II, 5 og 6 anvendes ikke udelukkende til Løsninger af Ligninger af anden Grad. Vi have alle- rede omtalt en arithmetisk Anvendelse, som Euklid