Matematikkens Historie I

46 Den græske Mathematik: gjør deraf i 10de Bog, og vi nævnte nys, hvorledes Brugen af Mellemproportional ad denne Vej undgaas. Et andet Exempel paa, at den geometriske Algebra kan overflødiggjøre Brug af Proportioner, haves i Euklids Beviser i III, 35—37 for Sætningerne om et Punkts Potens med Hensyn til en Cirkel. Il, 5 og 6 udsagde (se Fig. S. 41—42), at, naar C er Midtpunktet af AB, og naar D henholdsvis ligger paa AB eller dens Forlængelse, AD . D B = ±(CB^— CD2). Ere nu A og B Skjæringspunkterne med en Cirkel med Centrum O, faas af den Pythagoræiske Sætning, at C B2 — CD2 = O B2 — O D2, og dermed ere Potenssætningerne beviste. De Elementer af den geometriske Algebra, som her ere fremsatte, omfatte dog særlig Behandlingen af Lig- ninger af 2. Grad, altsaa netop det Omraade, hvor Nød- vendigheden af en anden Fremstilling end ved Tal har vist sig ved den dermed forbundne Optræden af irratio- nale Størrelser. Ved denne Behandling kunde man nøjes med Brug af Rektangler og Kvadrater, for saa vidt ikke allerede en opgiven Størrelse var fremstillet ved Arealet af en anden Figur. Under den videre Ud- vikling af den geometriske Algebra og dens Anvendelse særlig paa Keglesnitslæren — udvidedes den imidlertid saaledes, at ogsaa andre Figurers Arealer tjente til at fremstille de Størrelser, hvormed der opereredes. Det er dog klart, at det alene er i sin Anvendelse paa Rektangler og — da man i den geometriske Algebra aldrig indfører bestemte Enheder, og man altsaa opererer med homogene Ligninger — Parallelogrammer, at den geo- metriske Algebra indbefatter den geometriske Arithmetik; thi kun da kunne de Punkter, der i Arithmetiken frem-