Matematikkens Historie I

48 Den græske Mathematik: cle irrationale Størrelser med saa god Tilnærmelse som muligt. Viciest bragte de gamle Grækere det i den første af disse Retninger. Et Exempel paa en til denne hørende Undersøgelse have vi alt anført, nemlig Euklids Løsning af Ligning x2 -\-y2 — z2. Da han nemlig løste denne fuldstændig, fandt han ej blot tilstrækkelige men ogsaa nødvendige Betingelser for, at ]/ x2 + y2 og V z2 — X2 blive rationale. Han fandt altsaa, at de ere irrationale, naar Betingelserne ikke ere opfyldte. Af en simplere Beskaffenhed er en rimeligvis meget gammel Paavisning af, at ]/ 2 er irrational, som — om end med Urette — har fundet Plads i Slutningen af 10de Bog i flere Udgaver af Euklid. Bortset fra den geometriske Fremstilling kan den udtrykkes omtrent saaledes. Skal man have ]/ 2 = —, hvor Brøken— er forkortet saa n n meget som muligt, maa man have m2 = 2n2. Heraf fø]ger, at m2 er et lige Tal, altsaa ogsaa, at in er det. T)T Da — er uforkortelig, maa n altsaa være ulige. Af m lige følger imidlertid, at m2 er delelig med 4, altsaa n2 med 2, følgelig, at n er lige. Da nu n ikke kan være baade lige og ulige, kan ]/ 2 ikke være en ufor- kortelig Brøk. En lignende Fremgangsmaade kan som bekjendt bruges til i al Almindelighed at vise, at en Rod af et helt Tal ikke kan være en Brøk. Flere af Sætningerne i Euklids 8de Bog kunne oprindelig være udviklede med dette Maal for Øje og i ældre Tid være anvendte dertil. Dette gjælder f. Ex. om Sætning 6, som — om end i anden horm — udtrykker, at en Potens af en ufor- kortelig Brøk selv vil være en uforkortelig Brøk. Det