Matematikkens Historie I

60 Den græske Mathematik: Bevismiddel. Mere end Zenons Dialektik, som fra et overlegent Synspunkt gik løs paa at vise dets Util- strækkelighed til at begrunde Resultater, som i og for sig ikke kunde være tvivlsomme, har dertil virket de mindre frivillige urigtige Slutninger, hvortil det viste sig at kunne bruges. Som Exempel herpaa kan nævnes Sofisten An ti fo ns Bevis for, at Cirklen kan kvadreres, det vil sige, at man kan konstruere et Kvadrat lige stort med en given Cirkel. Det kan — hvis vi ellers kunne stole paa hans Modstanderes Beretninger — kortelig gjengives saaledes: I Cirklen kan indskrives et Kvadrat, dernæst veel Halvering af Buerne regulære Polygoner med flere og flere Sider. Ved Fortsættelse i det uendelige falder Polygonen sammen med Cirklen. Nu kunne alle disse Polygoner kvadreres, altsaa ogsaa Cirklen. Ved saadanne Misbrug tabtes al Tillid til infinitesi- male Betragtninger i den Grad, at da endelig Eudoxos fandt den Vej, ad hvilken Rigtigheden af herhen hørende Slutninger fuldstændig kan sikres, blev den ikke mere knyttet til Opstilling af et Uendelighedsbegreb; men dette blev omgaaet i det saakaldte Exhaustionsbevis. For dette — der ikke stod til Raadighed i den Tid, som foreløbig beskjæftiger os -r- skal jeg dog først gjøre Rede, naar vi hos Euklid lære dets Anvendelser at kjende. Ligeledes skal jeg vente med at forklare Eudoxos’, med Exhaustionsbeviset nær beslægtede Proportionslære, til vi træffe den i Euklids femte Bog. Her skal kun bemærkes, at den umiddelbart er Hgesaa anvendelig paa inkommensurable som paa kom- mensurable Størrelser, saa Proportioner mellem inkom- mensurable Størrelser efter Eudoxos’ Tid ikke mere blot vare Grænseformer for Proportioner mellem kommen- surable Størrelser.