Grundtræk af Sandsynlighedsregningen

23 Fjerde llovedtheorem. Forholdet imellem det An- tal Gange en Begivenhed er indtruffet og ikke er indtruffet i et stort Antal Tilfælde, er stedse nærmere ved Forholdet imellem Sandsynlighe- derne for og imod Begivenheden, jo större det hele Antal Tilfælde er. Delte er Jac. Bernoullis Theo- rem, Loven for de store Tal. Det følger omvendt heraf, at naar Sandsynligheden for en Begivenhed er bekjendt, saa vil man omtrentlig kunne forud angive det Antal Gange, den i et stort Antal Tilfælde vil indtræffe; derimod lader der sig mindre sik- kert udsige Noget om deres Fordeling paa et ringe Antal Tilfælde, om man end fra et rent mathematisk Standpunkt maa antage dem at fremkomme i Forhold til deres Sand- synlighed. 13. Er Antallet af mulige Tilfælde, eller af Hypo- theser, eller af virkende Aarsager uendelig stort, som al- mindelig maa være Tilfældet i Naturen, og varierer tillige Sandsynligheden kontinuerlig, maa der i Formlerne ind- komme bestemte Integraler. Antages saaledes E at være indtruffet m Gange, F n Gange, saa vil man kunne be- stemme, med hvilken Rimelighed man for E kan antage Sandsynligheden x, imod samme 1—x, idet x varierer fra 0 til 1. Sandsynligheden for m E og n F vil næmlig under Forudsætning af disse Sandsynligheder være k xm (1 — x)n, idet le er Indsættes heri efterhaanden Ocn, Iw, 2«, — l)w, idet 1 = rw, saa faaes Sandsynligheden for Begivenheden under Forudsætning af de nævnte x, og altsaa for dens Indtræffen under den ene eller den anden Forudsætning k [0M (1 — 0)n H- (I — w)n + (2æ)w (1 — 2w)n H- • • • + ((’—l)w)OT(l — (r — 1)«)"]. Følgelig giver (12) Sandsynligheden for, at Begivenheden er indtruffet under Forudsætning af Sandsynlighed æ, atvære ___________________________xm(l — x)n________ _ & ~~ 0"‘ (1 — 0)n 4- co"‘( 1 —w)n H-(r— 1 )"* Mm (1 — (r— !)&))"’