Lysbevægelsen i og uden for en af plane Lysbølger belyst Kugle

11 ögsaa let kan overbevise sig om, tilfredsstille de samme Differentialligninger, som K og 8, nemlig ifølge (10) J2Æ0 + Z‘-Æo = 0, J2 <S0 + Z2*S0 = 0. Udviklingerne af K og 8 efter Kuglefunktioner maa følgelig blive analog med Udviklingerne (26), idet der her i Stedet for det partikulære Integral v„(a) af Ligningen (21) indsættes det almindelige Integral, udtrykt lineært ved vn(a) og wn(a). Man erholder saaledes med de endnu ubestemte Konstanter kn , X.n •) 8n •) @n , „ ,cos^ cl “ 2n+1 „ . ) Æ = — i-------2/ (Jcnvn(a) -\-xnwn a) , a dp i n(n-l-l) o sin <b d “ 2n4-l D . S =------------- -j- 2 ’ (snvn(a) + anwn a ), a dp i n(n-|-l) ) og tilsvarende for et indre Punkt .cos<£ d ” 2nH-l D Ä'= — i—^-.-1-.—2 ’ («» vn(a )-f- xn wn(a)) , a dtp i n -f-1) o, sin d> d “ 2n-|-1 n r > i n . > , \ S =-----/-v-2 ——'—:Pney 2 ’ vn(a) + <jn «■’»(«)) . a dp t n{n-pi) (29) (30) Heri er Pn (cos p) afkortet til Pn . Benytte vi nu først den til a' = 0 svarende Grænsebetingelse, ses det af (24), at ion(a') bliver <x for a' = 0 og n > 0, og at altsaa Endelighedsbetingelsen udkræver Xn “= 0 , ffn ~ 0 . (72 7Z” \ ( P17T \ « — -2), ™n(a) = COS (a------------j . I uendelig Afstand fra Kuglen vil man altsaa have 2 (knvn(a) 4- ZnWn(a))*(*'-¥)•■ = (—kni + xn)dkt+n~n^ 4- (kni 4- . Det ses heraf, at Lysbevægelsen i Almindelighed i denne Afstand vil fremtræde som periodiske Funktioner af kt 4- a og kt — a, svarende til to modsatte Bølgebevægelser, den ene bevægende sig henimod Kuglecentret, den anden i Retning fra Centret. Da nu kun denne sidste, ifølge de antagne Betingelser, er virkelig tilstede, maa man have __kni _|_Zn == o , ligesom ogsaa tilsvarende — sni 4~ an = 0 . Saaledes reduceres Rækkerne (29) og (30) til K _ 1 + «•»(«)/), a dp 1 n(n-f-l) 5 _ _ si°± /. 2'-2"É!+ «.(«)«■), a dp 1 «(n-f-*) .cos^ d ” 2n-\-l p K — — z--------y~ 2 ---(“77 i#» 2 Kn Vn , a dp 1 n(n4-l) sin^ d ” 2?« 4-1 p s v (a'\ a' dp 1 nn + 1 (31)