Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

— CH I Meddelelse XIX. Om Grundlaget for den praktiske Geometri. I-oredrag ved Eksamensafslutningen paa den polytekniske Læreanstalt <1. 31. Januar 1913. Af Professor, Dr. J. Hjelmslev. Geometrien var i sin oprindelige Form uden Tvivl af rent praktisk Natur, saavel med Hensyn lil de Op- gaver, den stillede, som med Hensyn lil de Meloder, den unvendtc. Iferodot fortæller, at Kaniscs II delle ,Egyp- lens Land saaiedes, al liver Ægypter fik el firkantet Stykke Jord af samme Størrelse, og deraf maalle der saa svares en bestemt Skat; men Nilens Oversvømmelser gjorde det umuligt al opretholde faste Grænser for Ejendommene, og der maalle derfor ansælles Opsynsmænd, som Kongen kunde sende ud for al udniaale de Forandringer, der fore- gik med Arealernes Størrelse, for al Skallerne kunde be- regnes i Overensstemmelse hermed. Heraf, siger Herodot, synes det mig, al den Geometri maa være opstaaet, som senere kom til Hellas. Ikke blot ved Landmaalinger, men ogsaa ved Orien- teringen af de ægyptiske Templer krævedes der praktisk- geometrisk Arbejde, og der synes hertil at have været ansat en særlig Slags Enibedsmænd, som Grækerne kaldte Ilarpedonapter, d. v. s. Tovspændere. Det ligger nær at opstille Formodninger om, al Ægypterne gennem alle disse Arbejder maa have naaet en vis almindelig Indsigt i Løsning af geometriske Opgaver, og en Udtalelse af den gi æske Matematiker Demokrit, som havde opholdt sig liere Aar i Ægypten, lyder da ogsaa noget i den Retning; Deinokrit roser sig nemlig af, al han selv, i Henseende til Færdighed i geometriske Konstruktioner af Linier, ikke var bleven overlruflet af nogen, end ikke af de ægyptiske Ilarpedonapter, og ved al sammenholde denne Udtalelse med vort Kendskab lil Grækernes almindelige geometriske Standpunkt paa Demokrits Tid (ca. 400 f. Chr.) har man sluttet, al Ægypterne ogsaa i teoretiske Betragtninger var naaet ret vidi. I øvrigt bør man ikke lægge for stor Vægt paa saadanne Gisninger. Positive Oplysninger foreligger der ikke. Og hvor meget der ligger i Demokrits Be- mærkning, er ikke godt al vide. De Bygninger, som er bevarede fra den ægyptiske Oldtid, lyder paa, at Ægypterne har arbejdet med stor Nøjagtighed, og de Arbejdstegninger, som man har fundet, viser os, al de ægyptiske Bygmestre endogsaa har drevet det til al benytte en fuldslændig lodret og vandret Pro- jektion til Beskrivelse af Søjler. Heraf maa man nu heller ikke drage for vidtgaaende Slutninger. Der er et stort Spring fra en haandværksmæssig rigtig Behandling af et enkelt konkret Tilfælde til en bevidst systematisk Metode. Men man kan jo gaa ud fra, at Ægypterne i hvert Fald har samlet et betydeligt praktisk-geometrisk Stof, der kunde afgive et godt Materiale lil videre Be- arbejdning. Og en saadan Bearbejdning blev foretaget, og fore- taget grundigt, af Grækerne. Var den ægyptiske Geometri rent praktisk, saa naaede den i hvert Fald i Grækernes Haand en helt anden Skikkelse. Pythagoræernes Opda- gelse af de irrationale Tal bragte de formelle Betragtnin- ger i Forgrunden; man søgie et nyt Grundlag, eksakte Definitioner. Man stræbte at indskrænke Erfaringsgrund- laget saa meget som muligt og lagde Hovedvægten paa den logiske Deduktion. Man søgte at bevise saa som muligl ud fra saa faa Forudsætninger som meget > som muligt. J Og Saaiedes gik det da til, at Navnel Geometri (Jord- maaling) kom lil at betegne en formel Videnskab, der fjernede sig rel stærkt fra de Anvendelser, som den op- rindelig skyldle sin Tilblivelse, saa stærkt, al man ikke engang kunde give de mere praktiske Opgaver en Plads inden lor Systemet, men senere, da disse Opgaver dog atter gjorde deres Krav gældende, maatte opfinde el nyt Navn, Geodæsi, som Betegnelse for det praktiske Omraade. Hvad Grækerne naaede med Hensyn til Udvikling af den formelle Geometri, faar man et klart og fuldstændigt Indtryk af gennem Euklid’s Elementer (ca. 300 f. Chr.), hvor man finder en sammenhængende Fremstilling af den græske Elementærgeometri, en Fremstilling, som har dan- net Grundlaget for alle senere Undersøgelser, og som endog lige op lil vore Dage er bleven benyttet som Lære- bog. Euklid vogter sig vel for at nævne saa haandgribe- lige Ting som Lineal og Passer til Frembringelse af ret Linie og Cirkel; han udtrykker sig i saa forsigtige Ven- dinger som: »lad en ret Linie være draget«, »lad en Cirkel være draget« o. s. v., idet han i Forvejen har sikret sig disse Operationers Mulighed gennem bestemt formulerede Forudsætninger. Men hvor megen Umage Euklid end gør sig for at undgaa at hentyde til Erfaringen, saa bærer jo dog selve de Grundsætninger, hvorpaa hele Systemet hviler, baade de, der udtrykkelig er opstillede, og de, der stiltiende er forudsalte — og man kan sige de sidste især — tydeligt Vidnesbyrd om det erfaringsmæssige Udgangs- punkt. Selve Grundbegreberne Punkt, ret Linie, Plan indføres gennem saadanne Bemærkninger, som kaldes De- finitioner, men som ikke kan have nogen anden Hensigt end at føre Anskuelsen ind paa visse Erfaringsobjekter; og dog er selve disse Grundbegreber jo ikke direkte Er- faringsgenstande. Hvad er f. Eks. et matematisk Punkt? Et Punkt er det, som ikke kan deles, siger Euklid. Et Punkt er det, som ingen Udstrækning har, er der andre, der har sagt. Altsammen Talemaader, som erfaringsmæs- sig set udirykker en Urimelighed, men ganske vist en af de Urimeligheder, som Mennesker hurtigt finder sig til Rette med og hurtig indbilder sig at kunne opfatte. Et Punkt er en Vinkel, som man har revet Benene af, er der en Humorist, der en Gang har udtalt; hans De- finition staar i Virkeligheden ikke tilbage for nogen af de andre. Men paa samme Maade gaar det med alle den Eukli- diske Geometris Grundbegreber; hvor nær de end synes af ligge Erfaring og Anskuelse, saa maa vi, naar vi skal være ærlige, indrømme, at de ligger den direkte Erken- delse uhyre fjernt. Den Formalisering, som Euklid begyndte, men paa mange Punkter ikke magtede at fuldføre, er i vore Dage bleven fuldslændig gennemført; men først i den aller- nyeste Tid, ved Overgangen til det 20de Aarhundrede. Det er lykkedes den videnskabelige Geometri helt at fri- gøre sig fra Erfaringsgrundlaget, saaiedes at de Begreber, hvormed den arbejder, ikke behøver nogen som helst Tilknytning lil de oprindelige Virkelighedsforestillinger, gav Anledning lil Opstilling af den hele Lærebygning, dermed er en flertusindaarig Periode i Geometriens