Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

I CD — Historie bragt til Ende. Derved er i hvert Fald al Uklar hed inden for den teoretiske Geometri forsvunden. Men Spørgsmaalet om den teoretiske Geometris 1* or bindelse med Virkeligheden er ganske vist samtidig blevel skudt fuldstændigt til Side; det er blevet afvist af den rene Matematik som noget, der ikke kommer den ved. Spørgs- maalet bliver imidlertid derved blot ført over paa selve Anvendelserne; man lægger Ansvaret over paa dem alene. Den teoretiske Geometri arbejder med Ting, der gaar ud over Erfaringen, med matematiske Punkter, Linier og | Planer; den praktiske Geometri maa arbejde med Ting, der virkelig eksisterer, virkelige Punkter, Linier og Pla- ner. De to Omraader er vel beslægtede, synes endog meget nær beslægtede, men de er ikke identiske. Man siger maaske: »de er tilnærmelsesvis identiske, idet de til- nærmelsesvis følger de samme Love«; men saa længe man ikke gør Rede for, paa hvilken Maade og i hvilken Grad denne Tilnærmelse gør sig gældende, saa indeholder denne Bemærkning kun en Hypotese, og del en Hypotese, som i sin fulde Udstrækning slet ikke vil kunne over- holdes. Selv inden for den elementære Geometri, selv om man dér vilde gaa ud fra, at Grundsætningerne »tilnær- melsesvist« er opfyldte, saa kunde man ikke paa For- b.aand vide, om enhver nok saa indviklet geometrisk Sæt- ning, der logisk lader sig udlede af dem, om den ogsaa vilde gælde »med Tilnærmelse«. Og Vanskelighederne vokser, naar vi gaar over til den højere Geometri, hvor infinitesimale Betragtninger spiller en Rolle. I den elementære Geometri lader man dog i de praktiske Anvendelser kun med visse Forbehold 2 Punkter bestemme en ret Linie, idet man sikrer sig, al de ikke ligger for nær ved hinanden; men i Kurvers og Fladers Geometri lader man de to Punkler konvergere mod hinanden og laler alligevel stadig om en bestemt F orbindelseslinie. Ser vi paa den moderne Matematik i det hele med dens skarpt definerede Begreber: Grænseværdier, Differen- tialkvotienter, Integraler o. s. v., vil man snart være klar over, at ingen af disse Ting forekommer i Virkeligheden; de gaar alle ud over Erfaringen og kan ikke direkte fore- komme i Anvendelser. En Haslighed fremstilles i Teorien ved en Differentialkvotient; i Praksis er der aldrig Tale om andet end en Kvotient mellem endelige Størrelser, en Middelhaslighed. Et Integral er teoretisk »en Sum af uendelig mange uendelig smaa Størrelser«, i Praksis ci- der altid kun Tale om et endeligt Antal Addender. Naar man alligevel i Praksis anvender de skarpt de- finerede Begreber i Stedet for dem, Sagen i Virkeligheden handler om, saa skyldes det jo for det første den Om- stændighed, at man rent instinktmæssigt har en stærk Forudfølelse af, at man ikke vil begaa nogen væsentlig Fejl ved at gøre det, men for det andet vil et rent Økonomiprincip være det afgørende. Det er nem- lig meget, meget lettere at regne med Differentialkvotienter og Integraler end at regne med Differenskvotienter og Summer med mange Led. Og i dette 0 k o n o m i p r i n c i p ligger i Virkeligheden den formelle Matematiks store Værdi: den simplificerer den praktiske Viden- skabs Opgaver. Men saa meget desto vigtigere bliver det, at man i saa stort Omfang som muligt sikrer sig denne Simplifi- kation som den praktiske Videnskabs Ejendom og ikke i den Henseende, saaledes som man hidtil har gjort det, i altfor høj Grad lader sig nøje med Instinkt og Tradition. Fig. 1. Al man ved at arbejde med de skarpt definerede Be- greber kan komme til Resultater, der ikke ret vel lader sig forene med Anskuelsen, og som kunde give Anledning til Betænkeligheder med Hensyn til Rækkevidden af de( nævnte Instinkt, skal jeg vise ved et Eksempel, som har sit Udspring fra den mest elementære Praksis; der findes en gammel bekendt Tømrerkonstruktion af en Cirkelbue, som beror paa den Omstændighed, at Pilen til den halve Bue omtrent er (j. af Pilen lil hele Buen. Lad den Bue (Pig. 1), der skal konstrueres, have Korden AB og Pilhøjden MC. Paa de to Korder AC og BC oprejser man da Pilene ND og PE, begge = MC, hvorved D og E efter den angivne Regel saa skulde være Punkter af den søgte Cirkelbue ACB; i Virkeligheden ligger nu I) og E, som en lel Reg- ning vil vise, lidt inden for Cirkelbuen, men Afvigelsen er kun ringe. Er Cirkelbuens Gradeantal a og Radius a . = 1, vil Punkterne D og E ligge i Afstanden 2 sin - in- den for Cirkelbuen. Nye Mellempunkter kan nu indskydes paa lignende Maade, idet man paa Korderne AD, DC, CE, EB oprejser Pile = 14 ND = % PE. De herved fremkomne nye Mellempunkter vil teoretisk ligge lidi inden for Cirkel- buerne ADC og BEG. Konstruktionen kan finde Anvendelse ved Sammen- tømring af Buestillinger til Understøtning ved Opførelsen af en Murbue. Den bruges ogsaa undertiden til Udstik- ning af Hade Cirkelbuer i Maiken (for en Cirkelbue paa 30° og Radius 1 km bliver den teoretiske Fejl paa de første Mellempunkter mindre end 4 cm). Hvis man nu fra et rent matematisk Synspunkt vil undersøge den Kurve (»Tømrerkurven«), som alle de efter den angivne Regel indskudte Mellempunkter vil danne, saa ser vi for det første, at den ligger lidt inden for den søgte Cirkelbue ACB; men den samme Betragt- ning fører os straks videre: de to Buer AC og BC af Tømrerkurven ligger inden for de to Cirkelbuer ADC og BEC, og da sidstnævnte Buer ikke gaar jævnt over i hinanden, men danner et Knæk i C, vil de to Buer AC og BC af Tømrerkurven heller ikke kunne gaa jævnt over i hinanden i C 0: Kurven har et Knæk i C. Men den samme Ting vil gentage sig i de følgende Mellempunkter D og E; dér maa ogsaa komme Knæk, og i alle de føl- gende Mellempunkter ligesaa. Tømrerkurven har altsaa den Egenskab, at den overalt har Knæk, der følger uende- lig tæt efter hinanden; dette er noget, som man er ganske ude af Stand til at forestille sig. Praktisk talt har Kur- ven naturligvis en bestemt Tangent i hvert Punkt. I Virkeligheden er der her Tale om 3 forskellige Ting: