Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

I V" 1) Den praktiske Kurve, som vi ønsker at fremstille, 2) den teoretiske Cirkelbue, og 3) den teoretiske Tømrer- kurve. Den praktiske Kurve, som vi virkelig konstruerer, er hverken den matematiske Cirkel eller den matematiske Tømrerkurve, men den approximeres i de nævnte Anven- delser lige godt ved dem begge; og dog er disse 2 Kurver i mange Henseender grundforskellige. I Henseende til Krumning vil den praktiske Kurve ingenlunde approxi- meres lige godt ved dem begge; bruger man Cirkelen, finder man en konstant Krumningsradius, og bruger man Tøm- rerkurven og lægger Cirkler gennem 3 uendelig tæt paa hinanden følgende Punkter af den, vil man finde en varia- bel Radius, der svinger mellem 0 og en Værdi noget større end Cirkelens Radius. Dette sidste Resultat maa Praktikeren afvise som ubrugeligt. Praktisk lail har Kurven naturligvis en bestemt Krumning i hvert Punkt, men det praktiske Krumningsbegreb er af en anden Natur end det teoretiske. Definerer man Krumningscirkelen rent praktisk (altsaa ikke ved Grænseovergang), vil der ingen Vanskelighed komme. Hver Gang man kommer til at staa over for saadanne Vanskeligheder, savner man almindelige Regler, som kan bygge Bro mellem Anvendelserne og den formelle Ana- lyse. De, der dyrker Matematikken for Matematikkens Skyld, har hidtil ikke skænkel disse Spørgsmaal nogen omfattende Opmærksomhed*), og de, der skal bruge Ma- tematikken i Anvendelserne, betragter vel i Almindelighed Matematikken som et færdigt Værktøj, der ikke nærmere behøver at kritiseres. Fuld Klarhed vil først kunne tilegnes gennem en systematisk Redegørelse for Matematikkens Erfarings- grundlag. Man maa bygge hele Matematikken op paa Grundlag af Erfaringen alene. Den Erfaringsvidenskab, den praktiske Matematik, som man derved kommer til, vil nøjagtigt indeholde det, som Anvendel- serne kræver, idel alle dens Begreber til at begynde med maa have en rent erfaringsmæssig Afgrænsning, saaledes al man først, naar det viser sig hensigtsmæssigt, gaar over til den formelle Matematik. Man skal ikke begynde med Abstrak- tion, men ende med den. Det er naturligvis ikke muligt ved denne Lejlighed al give el endog kortfattet Overblik over hele dette Spørgs- maal, som i Virkeligheden vil føre ind paa alle Matema- tikkens Anvendelser, men for at give en Forestilling om, i hvilken Retning Bestræbelserne maa gaa, skal jeg gaa lidt nærmere ind paa det simpleste Omraade, det, hvormed vi for Geometriens Vedkommende maa begynde: den ele- mentære praktiske Geometri; det er ganske vist ogsaa et Omraade, der allerede har staaet sin Prøve i Praksis saa godt, at ingen vil tvivle om Resultatet. Men det udeluk- ker jo ikke, at det kan have Interesse at se, hvorledes man een Gang for alle kan slaa dette Resultat fast gen- nem en systematisk Undersøgelse. Først undersøger vi Definitionerne. Hvad er en plan Flade? Spørgsmaalet besvares ved, at man foreviser en plan Flade samt giver en Beskrivelse af, hvorledes den fremstilles. Hvorledes fremstiller man i Maskinfabrikkerne ’JjSe dog F. Klein: Anwendung der Differential- und Integral- rechnung auf Geometrie. Leipzig 1902. plane Flader? Ja, man bruger en saakaldt Retteplan, en Normalplan, hvorefter man ved passende Bearbejdning tildanner de Planer, man skal fremstille. Men hvor kom- mer Retteplanerne fra? Ja, man køber dem maaske! Men hvor køber man dem? Paa særlige Fabrikker for Præcisions værktøj; de fremstilles 3 ad Gangen, idet man begynder med 3 Plader, der tilnærmelsesvis er plane, og efterhaanden bearbejder man dem ved Skrabning saale- des, al de to og lo kommer til at passe sammen, saa al Fladerne under stadig gensidig Berøring kan forsky- des i hinanden paa alle Maader. Her har vi en Frem- stilling, som kontrollerer sig selv. Her har vi Definitio- nen. Denne praktiske Plan strækker sig ikke i det uende- lige. Den indeholder ikke uendelig mange Punkter; hvis man vil spørge, hvor mange Punkter den da indeholder, vil jeg svare: Foreløbig slet ingen; men sætter jeg et Mærke i den med en Punkternaal, saa indeholder den eet Punkt/ og paa den Maade kan man jo faa en hel Del, men aldrig uendelig mange. Derefter gaar vi over til Definitionen af den retle Vinkel. Et Legeme med 2 plane Flader, der støder op lil hinanden langs en Kant, kalder vi en Kile; vi vil nu forklare, hvad vi forstaar ved en retvinklet Kile. Saa- danne Kiler kan ligeledes fremstilles ved en selvkontrol- lerende Fremgangsmaade, idet de fremstilles 3 ad Gan- gen, saaledes at man sikrer sig, at 2 og 2 af Kilerne kan udfylde hinanden, d. v. s. hvilke som helst 2 af Kilerne kan lægges saaledes, al de berører hinanden langs een Flade, medens de begge hviler langs de andre Fla- der paa een og samme Plan. Det er nu ogsaa klart, hvorledes man kan fremstille nøjagtige Linealer, og dermed rette Linier. Andre Ideal- former for Planer og rette Vinkler og Linier end de her beskrevne kender vor praktiske Geometri ikke; alle andre Planer og relie Vinkler og Linier er Efter- ligninger af disse Idealformer. De sædvanlige luftige Be- greber, som Euklid lærte os at tænke paa, har vi ingen Brug for. Naar jeg nu skal gaa videre og danne en Geometri i Planen, vil jeg foretrække at holde mig lil den Efter- ligning af Planen, som vi benytter mest, Tegnepapiret udspændt paa et Tegnebræt. Og nu er saa at sige den eneste Kendsgerning, som man behøver at tilegne sig som Grundlag for den praktiske Elementærgeometri, den, at der eksisterer kvadreret Pa- pir. Paa det finder man 2 Rækker paa hinanden vinkel- rette Linier; enhver af Rækkerne inddeles af den anden i ens Maalestokke med samme Enhed; enhver Række ind- deler Planen i ens Strimler og inddeler enhver skraa Linie i lige store Stykker. Disse umiddelbart iøjnefal- dende Kendsgerninger godtgøres eksperimentelt ved Hjælp af en Kalke af Kvadratnettet, eller, ved nøjagtigere Under- søgelser, ved et lignende Kvadratnet indridset i en Plade af Glas eller Celluloid; Kalken (eller den gennemsigtige Plade) kalder vi en en Maaleplan. Den spiller for Pla- nens Geometri den samme Rolle som Maalestokken for den rette Linies Geometri. Har man nu 2 retvinklede Trekanter (Fig. 2) ABC og ABjCj, hvis Hypotenuser AB og ABj falder ud ad samme rette Linie, medens Kateterne AC og ACj ogsaa falder hen ad een og samme reite Linie, og lægger man den gennem-