Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

I TJ* oo »—« Meddelelse XXVI. Jærnbetontværsnit med ekscentrisk Normalkraft. Af Docent P. M. Frandsen, M. Ing. F. Almindelige Formler til Behandling af skæv Bøjning ved Jærnbetontværsnit er endnu ikke opstillede. De tilsvarende Opgaver for homogene Tværsnit (Jærn) og Tværsnit uden Trækmodstand (Murværk, Belon) cr løste. Se f. Eks. A. Ostenfeld: Tekn. Elasticitetslære 2. Udg. pag. 386 og 401. Jærnbetontværsnit bestaar af to Elementer, Jærn og Beton i Forening, hvis Egenskaber hver for sig er som forudsat ved Løsningen af de to nævnte Opgaver: Jærnet kan optage baade Træk- og Trykspændinger, Betonen kun Trykspændinger. Ved Løsningen af den her stillede Opgave (der betragtes kun Normalspændinger) forudsættes som ved Behandlingen af de to nævnte, at Tværsnittene holder sig plane under Deformationen. Idet der endvidere forudsættes Proportionalitet mellem Spændinger og Formforandringer (Hooke's Lov), maa Normalspæn- dingen i et vilkaarligt Punkt kunne fremstilles ved Ligningen for en Plan. Som sædvanlig ved Beregning af Jærnbetontværsnit forudsættes et konstant Forhold mellem Jærnets og Betonens Elasticitetskoefficienter. Fig. 1. Fig. 1 viser et vilkaarligt Jærnbetontværsnit, paa- virket af Tryk-Normalkraften N, som vist. Der indføres nu et Koordinatsystem med Begyndelsespunkt i <let samlede Jærns Tyngdepunkt O. Y'-Aksen lægges gennem Angrebspunktet for Normalkraften N, X'-Aksen parallel med den ubekendte Nullinieretning. Koordinatsystemet vil da i Almindelighed blive skæv- vinklet, saa at Vinklen co mellem Aksernes positive Retninger er ubekendt. Der indføres nu følgende Betegnelser: Det totale Jærnareal kaldes A, det virksomme Betonareal B (skra- veret paa Fig. 1). Største Trykspænding i Betonen Gb, Spændingen i Jærnets Tyngdepunkt Oa. Afstanden fra Tværsnittets yderste trykkede Kant til Jærnets Tyngde- punkt h', til Nullinien z', begge maalt i Y'-Aksens Ret- ning. Elasticitetskoefficienten for Jærnet Ea, for Be- Ea tonen Ej,, Det konstante Forhold —= n. Idet Spændingen i et Betonelement kan skrives dP Gø — — = Eb • e, og Spændingen i et Jærnelement M uF dP , p p dP Öa = —- = Ea • e, hvoraf faas ---— = Eb • e, ses det, dF n- di- at man kan behandle Jærnelementerne som Betonele- menter, naar de forinden multipliceres med n, samt al den Spænding, man herved finder i Jærnelementet, «a er —• n Med det valgte Koordinatsystem faas nu for Normal- spændingen C i et vilkaarligt Punkt med Koordinater x' og y': ö = a + by'. (1) Til Bestemmelse af a, b og co har vi de 3 statiske Ligevægtsbetingelser, som faas for parallelle Kræfter i Rummet. N = OdF Ny'k= Jy'-OdF 0 = x'-GdF, hvor Integralerne skal udstrækkes over de virksomme Dele af Tværsnittet, altsaa det totale Jærnareal og det virksomme Betonareal. Ved i disse 3 Ligninger at ind- føre G fra Ligning (1), idet vi erindrer, at x'dF og Jy'dF for de Deles Vedkommende, som angaar Jærn- arealet, er lig Nul, faas: o Z Z » Ï » so as » cr x CC + +' + cr cr a H 5Ï - + + i □ '—i er x tS 83 ’ 0 X---' s s s hvor Sb og SÎ, betegner de skævvinklede statiske Mo- menter af B m. H. t. henholdsvis X'- og Y'-Aksen (de tilsvarende Størrelser for Jærnet er Nul, da Akserne gaar gennem Jærnets Tyngdepunkt), og Zj7 hen- holdsvis det skævvinklede Inertimoment og Centrifugal- momentet af B m. H. t. Akserne, og Za3 de tilsvarende Størrelser for det totale Jærnareal A. Disse Formler gælder almindeligt, hvorledes Nul- linien end ligger i Forhold til Tværsnittet. Naar Nul- linien falder helt uden for Tværsnittet, behandles Opgaven lettest som ved homogene Tværsnit med Begyndelses- punktet i det samlede Tværsnits Tyngdepunkt, saa denne Del af Opgaven behøver vi ikke at beskæftige os med her. Naar Nullinien skærer Tværsnittet, indføres imidler- tid bekvemmere største Trykspænding Ob og Nulliniens Afstand z' fra Tværsnittets trykkede Kant i Stedet for a og b. Af (1) faas da: