Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

Meddelelse XXXVHI. Aabne Broers Sidestivhed. Af Professor A. Ostenfeld, M. Ing. F. Dette Problem er, foruden af Engesser, hvis Formel som bekendt endnu er den almindeligst anvendte til Dimensionering af Halvrammerne, i de senere Aar gjort til Genstand for en grundigere Behandling af Zimmermann (i en Række Afhandlinger i »Sitzungsberichte der k. preuss. Akad. d. Wissensch.« 1905—09 og i »Z. f. Bauwesen« 1910) og Müller-Breslau (»Graph. Statik d. Baukonstr. II, 2«, 1908, S. 326 o. f.). Begge disse Forfattere indfører som ubekendte baåde de vandrette Udbøjninger y af Dragerhovedets Knudepunkter og Knudepunktsmomenterne X i Dragerhovedet, og de ender begge med at opstille to Systemer af Ligninger af Formen (her anføres Miiller-Breslau’s, dog med de nedenfor anvendte Betegnelser): Sryr—1 + ( sr r + kr — Sr+1 —Yr + Sr+l Yr+l — y Xr—i+ f (r (1 — Xr) Xr — . Xr+i — kr y° , (1) \ nr nr / Ar \Ar Ar4-1/ Ar-j-l Og: t" — 1 /l— T 1— r' \ t" . — 1 1 /I 1 \ 1 vpr Xr_i + I r + -----------y— j Xr + —----z-— Xr+1 + p yr-i ” l v + <—) Yr + ?— Yr+i = 0- (2) Hr Ap \ rirAr Hr-f-l Ar-j-l/ 1*r+l''r-f-l \ Ap Ar-j-i/ Ar-f-1 Med konstant Faglængde X foreslaar Müller-Breslau den Tilnærmelse at sætte Koefficienterne til Xr_i og Xr+i i (2) lige store (erstatte dem med en Middelværdi), og i saa Fald viser han, at man i Stedet for Ligningssystemerne (1) og (2) kan sætte et enkelt System af 5-Leds-Ligninger. Hvis Konstruktionens Sikkerhed mod Udknækning er n, forstaar man derved, at man kan lade den ydre Belastning vokse op til en n Gange saa stor Værdi som den, der i Virkeligheden skal regnes med, førend Udknækningen foregaar (d. v. s. førend de ubekendte antager Værdien »uendelig«); omvendt bestemmes n derfor ved at sætte Ligningernes Determinant lig Nul, efter at man overalt har tilføjet Faktoren n til den ydre Be- lastning. For en mindre Værdi af n end den saaledes fundne kan man dernæst beregne Størrelserne y og X og derved Paavirkningerne i Dragerhovedet og Halvrammerne. Den saaledes definerede Udknækning svarer ganske til den, der for en almindelig centralt paavirket Søjle fører til den Euler’ske Grænseværdi, og følgelig kan det fundne n heller ikke her angive den virkelige Sikkerhed mod Brud; denne (nj burde ganske som for en »praktisk« Søjle bestemmes saaledes, at den resulterende Paavirkning i Dragerhovedet eller Halvrammerne først naar op til Flydegrænsen, naar Belastningen multipliceres med n1, og paa den Maade vil man selvfølgelig altid finde nx n, ofte under Halvdelen af n. Principielt kan Problemet saaledes nok siges at være løst ved de ovenfor nævnte Undersøgelser, men reelt lader Løsningen alligevel en Del tilbage at ønske, idet Beregningerne bliver saa besværlige, at der normalt ikke kan være Tale om at gennemføre dem i Praksis. Endvidere er, som vi nedenfor skal se, hverken Müller- Breslau’s eller Zimmermann’s Ligninger helt korrekte, naar det drejer sig om polygonale Dragere. Men selv bortset herfra tilfredsstiller den principielle Løsning ikke helt, idet man paa Forhaand let kan indse, at de to Ligningssystemer ovenfor og de to Sæt ubekendte (y og X) altid, ikke blot tilnærmelsesvis, maa kunne er- stattes med eet; og at en saadan Reduktion af Ligningernes Antal er af væsentlig Betydning, naar man skal undersøge Determinanten, er indlysende. Denne Reduktion kan f. Eks. tænkes realiseret paa følgende Maade : af den rte Ligning (1) og (2) elimineres yr—i, saa man faar en Ligning mellem yr, yr+i og Xr_i, Xr, Xr+j; paa samme Maade elimineres yr+2 mellem den (r -|- l)te Ligning (1) og (2), hvorved faas en anden Ligning mellem Yr, Yr+i og Xr, Xr+i, Xr+2; ved Opløsning af de to nye Ligninger udtrykkes yr og yr+i ved Xr_i• • • •Xr+2, og ved Ombytning af r med (r—1) ligeledes yr_i ved Xr_2'• • •Xr+i ; efter Indsættelse af disse tre y'er i den rte Ligning (1) eller (2) haves endelig en 5-Leds-Ligning med X’erne som de eneste ubekendte. Virkelig at udføre denne Elimination med de ganske almindelige Ligninger (1) og (2) vilde ganske vist føre til altfor uoverskuelige Udtryk, men det fremgaar dog af det sagte, at man maa kunne komme videre end til Müller-B resian' s eller Zimmermann’s Slutligninger. Selv om det imidlertid kan lykkes at erstatte Ligningssystemerne (l)og(2) med et enkeltsystem af 5-Leds- Ligninger, vil det aabenbart endda være fuldt berettiget at ønske en simplere Tilnærmelsesberegning. Ved stor Stivhed af Dragerhovedet er det ganske vist givet paa Forhaand, at der næppe kan tænkes nogen bedre eller naturligere Tilnærmelse end Engesser's kontinuerlige Fordeling af Ramme-Reaktionerne; men denne Forudsæt- ning er, som Engesser selv viser, kun tilladelig, naar Dragerhovedet er meget stift (dimensioneret som Søjle med fri Længde lig 1,8 à 2,0 Gange Afstanden mellem Halvrammerne), og dette kan ikke i alle Tilfælde paa- staas at være den mest praktiske eller økonomiske Løsning. For et mindre stift Dragerhoved findes der imidlertid ingen simpel Tilnærmelse, saa ogsaa paa dette Punkt trænges der til Supplering. Det skal nu i det følgende blive vist : 1. at man direkte, uden de ovenfor nævnte to Ligningssystemer som Mellemled, kan opstille et System af 5-Leds-Ligninger, hvorpaa Problemets Løsning ganske eksakt beror; 11. at man, inden for det Omraade, hvor Engesser's Formel ikke gælder, med en for Praksis sikkert altid tilstrækkelig nøjagtig Tilnærmelse kan erstatte disse 5-Leds-Ligninger med 3-Leds-Ligninger, saa Under- søgelsen ikke bliver stort besværligere end under Forudsætning af Kugleled i Knudepunkterne; 111. at man (for det samme Omraade som under II) til Brug ved Dimensionering kan opstille en Formel for den nødvendige Halvramme-Stivhed.