Meddelelser Fra Lærerne Ved Den Polytekniske Læreanstalt I Femaaret 1912-16

449 Meddelelse LUI. Differens -Deformationsarbej det. Alle de forskellige Opgaver, der kan frembyde sig angaaende en bærende Konstruktion, kan i Virkelighe- den reduceres til to: Bestemmelse af en Spænding og Bestemmelse af en Formforandring. Den simpleste og mest ensartede Løsning af disse Opgaver faas som be- kendt ved Anvendelse af det virtuelle Arbejdes Princip, udtrykt ved Ligningen EPu = Av, hvor u betegner de virtuelle Forskydninger af Kræf- terne P’s Angrebspunkter og Av Systemets virtuelle Deformationsarbejde, altsaa, naar vi foreløbigt holder os til Gitterkonstruktioner, > < II M (la) For nogle af disse Opgaver kan man, som fremde- les bekendt, lade Løsningen fremtræde under en særlig simpel og elegant Form ved at benytte Systemets vir- kelige (indre) Deformationsarbejde W I M Cl C/3 Hol II O) H II C/3 <1 CO II u og As faar, naar Forlængelsen Asm eller den dermed proportionale Spænding Sm i en vilkaarlig Stang faar Tilvæksten d-(Asm). Herved findes: XP dSm = SS 6 (As) dSm. (6) osra 0Sm Under Variationen er Kræfterne P konstante, saa- ledes at bu _ 8 (Pu) _ 8 (2An) 8Sm 8Sm &Sm Endvidere faas ved Differentiation af FP Ai = |X(Asp—, = S (As EF) b^s) = SS oSm \ S ) öSni og følgelig kan (6) skrives: = .H.r (,) bSm bSm &Sm idet man ifølge de Castigliano’ske Sætninger bestemmer en Formforandring um og en Kraft Xa ved: bA; u»’=8p- °g ni overtallig Spænding eller O*' II (3) Anvendt paa et statisk bestemt System fører denne Ligning, der i og for sig ligesom (1) ikke er an- det end en Ligevægtsbetingelse mellem Kræfterne P og Spændingerne S, til en Bestemmelse af den vilkaarlige Spænding Sm. Naar Systemet nemlig kun indeholder af hvilke to Ligninger den første indbefatter den sidste. Denne sidste Ligning gælder kun umiddelbart for urok- kelige Understøtninger og konstant Temperatur, men ved en Udvidelse af Begrebet A, kan disse Tilfælde dog ogsaa indbefattes. Dels er imidlertid denne Udvidelse, saaledes som den sædvanligt foretages (se saaledes Müller-Breslau; Die neueren Methoden der Festigkeits- lehre, 4te Aufl. 1913, S. 78—79), rent konstrueret, dels omfatter de Castigliano’ske Sætninger ikke Bestemmelsen af en vilkaarlig Spænding i et statisk bestemt Sy- stem. Dette Hul kan imidlertid udfyldes, saaledes som det her skal blive vist, og herigennem faas tillige et Bevis for den ved Ritz’s Tilnærmelsesmetode til Behand- ling af elastiske Problemer benyttede Betingelse. Idet vi som sagt foreløbigt indskrænker os til Git- terkonstruktioner, tænker vi os en saadan i Ligevægt under Paavirkning af en Række ydre Kræfter P. Det virkelige ydre Deformationsarbejde Au er da Au = |SPu, (4) hvor u betegner de Forskydninger af Kræfternes An- grebspunkter, der virkelig er foregaaede fra den spæn- dingsfri Begyndelsesstilling til Ligevægtsstillingen. Naar vi herved forudsætter, at der intet Friktionsarbejde skal overvindes ved Understøtningerne, er i Ligevægtsstil- lingen : Au = As. (5) Paa dette System anvender vi nu Ligning (1) med de virkelige Kræfter P og Spændinger S, idet vi som Forskydninger indfører de Tilvækster, som de virkelige det netop nødvendige Antal Stænger, er disses Længder uafhængige af hinanden, og b (As) Størrelsen i (6) er □ om derfor Nul for alle andre Stænger end snl; for denne Stang er 8 (As,n) _ _sm bsm EFm og følgelig bliver hele Summen paa højre Side i (6) kun til Sm^in o j Smsm . - * ~ — Smd • — - — Smd(Asm), EFm EFm medens Størrelserne dSm oSin betyder de Forskydninger, som Kraft-Angrebspunkterne faar, naar Endepunkterne af Stangen sm fjernes Stykket d(Asm) fra hinanden. For et statisk bestemt System er (6) (og (7)) altsaa identisk med den sædvanlige Ligning til geometrisk eller kine- matisk Bestemmelse af en Spænding, nemlig _ SPb m Asnl’ der faas direkte af (1) ved at indføre de Forskydnin- ger b, der er en Følge af, at man giver Stangen sm en vilkaarlig (bekendt) Længdetilvækst Asm. Om man ønsker, kan det fundne Resultat nu ogsaa udtrykkes saaledes: Spændingerne Sm i et statisk bestemt System skal bestemmes saaledes, at Differens-Arbejdet AD = 2AU :—Aj bliver Mini- mum eller Maksimum; da Variationen dSm netop fører bort fra Ligevægtsstillingen, er A„ her ikke lig A|.