Geometriske Eksperimenter

15 bor nu at godtgøre, at Vinklen 20° ikke kan konstrueres ved Passer og Lineal, skal vi kun paavise, at den fundne tredje Grads Ligning ikke har nogen Rod, der kan dannes ved, al man udgaaende fra Tallet 1 anvender en endelig Række af rationale Operationer (de 4 Regningsarter) og Kvadratrodsuddragninger efter hinanden. De Størrelser, man overhovedet kan komme til ved disse Operationer, undersøger vi nu nærmere, idel vi efterhaanden beskæftiger os med følgende Omraader af de frembragte Tal: 1) . Omraadet 7?, omfattende alle rationale Tal. 2) Omraadet /?, (enkelt irrationale Tal), omfattende alle de reelle Tal, hvoraf ethvert fremkommer ved paa Tallene i /? og disses Kvadratrødder al anvende rationale Operationer; selve Tallene i li regnes dog ikke med til /?,. 3) Omraadet (dobbelt irrationale Tal), omfattende alle de reelle Tal, hvoraf ethvert fremkommer ved paa Tal- lene i li og saml disses Kvadratrødder at anvende rationale Operationer; dog oplages de Tal, som i Forvejen findes i li og ikke i 7<2. Paa denne Maade fortsættes nu,»og vi klassificerer der- ved efterhaandtn alle de irrationale Slørreiser, som over- hovedet vil kunne konstrueres ved Passer og Lineal ud fra den valgte Længde 1, saaledes at man er vis paa, al enhver af de Størrelser, der kan konstrueres, maa forekomme i en bestemt af Klasserne li, /?,, li2, .... Vi vil nu vise, al ingen af disse Klasser kan indeholde nogen Størrelse, som tilfredsstiller Ligningen t3 —3.r—1=0. Vi prøver med den første Klasse li. Findes der noget ratio- nalt Tal, som er Rod i Ligningen? For del første ser man straks, at x ikke kan være noget helt Tal, da dette i saa Fald vilde gaa op i de to første Led æ8 og —3x og derfor ogsaa i det sidste Led (—1), hvilket maatte medføre, at # = + !; men ingen af disse Værdier til-