Geometriske Eksperimenter

fredsstiller Ligningen. For det andet kan a’ = en uforkorte- lig Brøk - heller ikke tilfredsstille Ligningen, da dette ved Indsættelse vilde give — 3pq — v2 = (), saa at 7 maatte gaa op i ps. Intet lal i Klassen 1{ kan allsau være Rod i Ligningen. Derefter prøver vi med Klassen /?,. hn vilkaarlig Størrelse i denne Klasse maa være rationalt udtrykt ved et endeligt Antal Kvadratrødder | | p, Disse kan forudsættes uafhængige af hinanden paa den Maade, al ingen al dem kan udtrykkes rationalt ved de øv- rige; ellers kunde man nemlig reducere Antallet af ind- gaaende Kvadratrødder. Lad nu Antallet af Kvadratrødder være r. Den betragtede Størrelse ordnes efter én af de ind- gaaende Kvadratrødder, f. Eks. K// og faar da Formen A+BVh C + l)Vu' der ved Multiplikation med C—/)| 11 i Tæller og Nævner reduceres til et Udtryk af Formen ni ■ {- 711 11. Her kan I n ikke udtrykkes rationalt ved ni og n (men ni og n kan naturligvis indeholde andre Rodstørrelser). Kan nu n være Kod i Ligningen? Ved Indsættelse faar man (ni + n K h)8 — 3(zn + n I 11) — 1= 0, der ordnes med Hensyn til saa al man faar X hvor M øg N er rationale hele Udtryk i ni, n øg 11. Da nu I 11 ikke kan udtrykkes rationalt ved ni øg n, maa man alt- saa have Ar = (), altsaa ogsaa J/=(), altsaa