Geometriske Eksperimenter

17 hvilket imidlertid aabenbart betyder, at ni — u er Rod i den forelagte 3dje Grads Ligning. Altsaa: Skal ni -)- u være Kod i Ligningen, maa m— n\ ti ogsaa være det. Da nu Koefficienten til er Nul, maa Summen af Ligningens 3 Rødder være Nul, og naar de to af Rødderne er m+ n\ u (n ^0), vil den sidste Rod i Ligningen være = — 2/7?; men denne Størrelse indeholder ikke I u, alt- saa 1 Kvadratrod færre end 777-p- n J' u. Altsaa: Dersom 3dje Grads Ligningen har en Rod i Klassen /?, med r af hinanden uafhængige Kvadratrødder, maa den ogsaa have en Rod med r—1 eller færre af hin- anden uafhængige Kvadratrødder. Men deraf slutter man straks, al den ni aalte have en Rod, som slet ingen Kvadrat- rødder indeholder, altsaa en rational Rod, men dette viste vi ovenfor var umuligt. Ligningen har altsaa heller ikke nogen Rod i Vi kan derefter gaa videre paa samme Maade og vise, at den ikke har nogen Rod i /(.. Beviset formes ganske som før: Man tænker sig den betragtede Størrelse i R2 bragt paa Formen ni-\-n\u, hvor ( n tilhører R2 men ikke kan ud- trykkes rationalt ved ni og n og n (i modsat Fald kunde Ud- trykket nemlig reduceres saaledes, at |/ u forsvandt). Dersom ni -1-7? J u er Rod i Ligningen, maa ogsaa ni — n[ u være det, altsaa ogsaa Størrelsen —2m, som ikke indeholder I u o. s. v. Folgen vilde blive, at Ligningen maatte tilfredsstilles af en Størrelse i /?,, hvilket er umuligt. Det er klart, at Ræsonnementet kan fortsættes paa lig- nende Maade gennem de følgende Klasser /?., ,/?4...og vi indser da, at ingen af Klasserne kan indeholde noget Tal, som tilfredsstiller Ligningen. Altsaa kan man ikke ved Passer og Lineal konstruere en Vinkel paa 20 °, og Umuligheden af en sædvanlig Konstruktion til Vinklens Tredeling er dermed godtgjort. 2