Geometriske Eksperimenter

18 Man kan naturligvis anvende ganske de samme Betragt- ninger, som vi her har benyttet, til Behandling af en vilkaar- lig 3dje Grads Ligning med rationale Koefficienter og uden rationale Rødder. En saadan Ligning kan altsaa aldrig løses ved Kvadratrod (d. v. s. den har ikke nogen Rod, der hen- hører til nogen af de ovennævnte Klasser). En irrational Kubikrod af et rationalt Tal kan altsaa aldrig ud- trykkes ved Kvadratrod. Hermed er bl. a. bevist, at en anden berømt Konstruktionsopgave, Problemet om Terningens Fordobling, heller ikke kan løses ved sæd- vanlig Konstruktion, idet Opgavens Løsning beror paa al finde \/2. Almindelige Undersøgelser over algebraiske Ligninger, der lader sig opløse’ ved Kvadratrod, og som altsaa grafisk kan behandles ved sædvanlig Konstruktion, er gennemført af Julius Petersen; herom henvises til hans Doktordisputats: Om Ligninger, der kunne løses ved Kvadratrod, Kjøbenhavn 1871, samt til hans Lærebog: De algebraiske Ligningers Theori, Kjøbenhavn 1877. 4. Kubikrodsuddragning. Vi har set, al man ikke ved sædvanlig Konstruktion kan bestemme en vilkaarlig Kubikrod. Blandt de forskellige For- mer, som Opgaven angaaende den almindelige Kubikrods- uddragning har faaet, skal vi først nævne den vigtigste, Be- stemmelsen af to sammenhængende Mellemproportionaler x og y mellem to givne Størrelser a og 6, d. v. s. Bestem- melsen af x og y ved Ligningerne a x y x y b' De tre Brøker har Produktet (l, og hver al dem maa alt- 8b saa være=|/H, altsaa I b x = \/crb, y = \ (ib~.