Geometriske Eksperimenter

14 4) Skæringspunkter mellem ret Linie og Cirkel eller mellem to Cirkler fremstilles derimod ved Koordinater, som ved deres Beregning kræver Udførelse af en Kvadratrods- uddragning. Ved Sammensætning af de nævnte Operationer kan man altsaa ud fra de givne Størrelser aldrig naa til andre Udtryk end saadanne, som man føres til gennem et endeligt Antal rationale Operationer og reelle Kvadratrodsuddragninger, ud- førte efter hinanden. Omvendt kan saadanne Udtryk jo allid konstrueres ved Passer og Lineal. Altsaa: bor al en Opgave skal kunne løses ved sædvanlig Konstruktion, er del nødvendigt og tilstrækkeligt, at de søgte Punkters Koordinater i et vilkaarligt valgt retvinklet Koordinatsystem kan udtrykkes ved saa- danne Funktioner af de givne Punkters Koordinater, som kan dannes ved Sammensætning af en endelig Række rationale Operationer og Kvadratrodsuddrag- n i il ger. Efter dette Resultat gaar vi nu over til vor specielle Opgave at vise, al der gives Vinkler, som ikke lader sig tre- dele ved sædvanlig Konstruktion. Vi vælger et simpelt Eks- empel, idet vi tager en Vinkel paa 60° og vil bevise, at - Tredjedelen, en Vinkel paa 20", ikke kan konstrueres. Delle vil jo være tilstrækkeligt, idet enhver eventuelt eksisterende almindelig Konstruktion af Vinklens Tredeling maatte kunne anvendes paa det specielle Tilfælde. I Formlen cos 3« — 4 cos3 a — 3 cos« sætter vi « = 20° og faar da: i = 4 cos8 20° — 3 cos 20°, saa at vi til Bestemmelse af x = 2 cos 20° har Ligningen: X’3 — 3x —1=0.