Geometriske Eksperimenter

Indsættes x = y — vil Ligningen faa Formen: //3 + p// + '7 = O. Herefter sættes y = u-\-v, hvorved man faar: u‘3 + Ps + (3zzp + p) (u + p) + q = 0. Sættes derpaa p uv = — , O faar man ir -j- ir = — q, hvorefter man finder u'3 og i>'3 som Rødder i den kvadratiske Ligning: 2. + gz_g = 0, altsaa Bestemmelsen af u og v kræver altsaa foruden Kvadrat- rodsuddragning ogsaa Kubikrodsuddragning, og den Størrelse, hvoraf Kubikroden skal uddrages, vil enten være reel eller imaginær; men i alle Tilfælde uddrages Kubikroden af et komplext Tal ved, al man uddrager Roden af Modulus og tredeler Argumentet. Og hermed er det bevist, at den almin- delige Opgave af 3dje Grad kun kræver de 2 nævnte specielle Operationer foruden Konstruktion med Passer og Lineal. Opgaver af 4de Grad kræver ikke med Nødvendighed nye Eksperimenter, idet enhver Ligning af 4de Grad efter først at være bra^t paa Formen x'4 + ax2 + bx -\-c — 0, kan føres tilbage til Løsning af en Opgave af 3dje Grad. Ligningen kan nemlig for del første omskrives til (x2 4- y)2 = (2y — d)x2 — bx — c + //“, hvor y er vilkaarlig; og dernæst kan man bestemme y saa- ledes, at højre Side bliver et fuldstændigt Kvadrat. 1 il Be- stemmelse af y haves da: 4(2// — a)(y2 — c) = b2, altsaa en Ligning af 3dje Grad. Opløser man denne, vil x der- efter kunne findes ved Opløsning af kvadratiske Ligninger.