Geometriske Eksperimenter

70 y' — tgh \ 1 + </ tø h) altsaa ogsaa ligge paa en usammensat algebraisk Kurve. Men denne Kurve og Kurven /’(.r,//) = () har et sammenhængende Buestykke fælles, og de maa derfor falde helt sammen; Kurven f(x,y) = 0 maa altsaa indeholde hele Buen af Tangenskurven, og man slutter da straks videre, at den maa indeholde alle de øvrige Buer af Tangenskurven, svarende til de følgende og foregaaende Intervaller af Størrelsen h, d. v. s. den algebraiske Kurve /’(.r, y) = 0 maatte indeholde hele den reelle Kurve y=^lgx‘, dette er imidlertid umuligt, da Ligningen tgx = 0 har uendelig mange Rødder. Altsaa: Tangenskurven kan ikke i noget selv nok saa lille Interval være algebraisk. Del samme gælder da naturligvis Sinuskurven y = sin x. Alle trigonometriske og cirkulære Funktioner er altsaa transcendente. Heraf følger nu, at arc sin x, Længden af en Bue, hvis sinus er x, ikke i noget Interval er en algebraisk Funktion af x, saa at der ikke kan eksistere noget Eksperiment ved Passer og Lineal, ved Hjælp af hvilket man kan rektificere en vilkaarlig forelagt Cirkelbue. Dette udelukker jo nu imidlertid ikke, al der maaske kunde konstrueres nogle specielle Cirkelbuer, som tilsteder algebraisk Rektifikation, at f. Eks. hele Cirkelperiferien kunde rektificeres ved et algebraisk Eksperiment; men selv delte specielle Spørgsmaal maa, efter hvad Lindemann viste i 1882, besvares derhen, al hverken hele Cirkelperiferien eller nogen Del deraf, som kan konstrueres algebraisk, tilsteder nogen algebraisk Rektifikation. For nu at kunne løse Konstruktionsopgaver, der afhæn- ger af transcendente funktioner, bliver det altsaa nødven- digt at indføre nye Hjælpemidler. Og det Hjælpemiddel vi vælger, er simpelthen det, at vi tegner en Kurve, der paa én eller anden Maade giver en grafisk Fremstilling af den Funk-