Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

41 ved Hjælp af Opgaver, som ad anden Vej ere løste. Vi kunne ogsaa ved Hjælp af be- kjendte geometriske Steder finde ny, idet vi deraf, at et vist geometrisk Sted er et Kegle- snit, kunne slutte, at en vis Opgave kan loses, og deraf atter se, at andre geometriske Steder ere Keglesnit. Keglesnittets Natur og Beliggenhed bestemmes i Almindelighed let ved mærkelige Linier og Punkter i det. Exempel 1) 1 en given Trekant kan man indskrive en Trekant, ligedannet med en given, saaledes at den ene Side indeholder et givet Punkt. Heraf slutte vi: Naar en Trekant, ligedannet med en given, bevæger sig med sine Vinkelspidser paa tre givne rette Finier, ville dens Sider generere Keglesnit. Naar en Trekant, ligedannet med en given, bevæger sig saaledes, at den ene Side indeholder et givet Punkt, medens dens Endepunkter glide paa givne rette Linier, er det geometriske Sted for den tredie Vinkelspids et Keglesnit. Man ser, at det er en Hyperbel, hvis uendelig fjerne Punkter bestemmes ved de Stillinger af Trekanten, hvor Siden gjennem det givne Punkt er parallel med en af de givne Linier. Naar en Trekant, ligedannet med en given, bevæger sig med Endepunkterne af en af sine Sider paa to givne rette Linier, medens en af de andre Sider indeholder et fast Punkt, vil det geometriske Sted for den tredie Vinkelspids være et Keglesnit. 2) Gjennem et givet Punkt kan man ved Passer og Lineal trække en Linie, hvoraf to givne Cirkler afskjære ligestore Korder. Deraf slutte vi: Naar en ret Linie bevæger sig saaledes, at to givne Cirkler afskjære ligestore Korder af den, indhylles den af et Keglesnit. 3) I en given Trekant kan man indskrive en anden saaledes, at de to Sider falde i givne Retninger, og den tredie faar en given Længde. Heraf følger: Naar en Linie af given Længde glider med sine Endepunkter paa to givne Linier, og man fra dens Endepunkter trækker Linier i givne Retninger, er det geometriske Sted for disses Skjæringspunkt et Keglesnit. Naar en ret Linie AB med given Retning glider paa to givne rette Linier og et Punkt X bestemmes ved, at XA har en given Retning, medens XB har en given Længde, er det geometriske Sted for X et Keglesnit. 4) Fra et givet Punkt kan man trække en Linie, der af to givne Cirkelbuer af- skjære ligedannede Stykker, idet disse regnes fra givne Punkter i Buerne; heraf følger: Naar en ret Linie glider saaledes paa to Cirkelbuer, at dons Endepunkter gjennem- lobe ligedannede Buer (med samme Omlobsretning), genererer den et Keglesnit. 5) Naar en Trekant er indskreven i en Cirkel, og de to Sider indeholde faste Punkter, vil den tredie generere et Keglesnit. (Opg. 10). 6) Naar en Trekant, kongruent med en given, glider med sine to Vinkelspidser paa rette Linier, beskriver den tredie et Keglesnit (Opg. 11). 6