Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

40 Man kunde ogsaa borttage det givne Punkt, hvorved en ret Linie af given Længde kommer til at glide med sine Endepunkter paa to givne rette Linier; da den ikke derved genererer et Keglesnit, se vi ogsaa paa denne Maade, at Opgaven ikke kan løses ved Passer og Lineal. Medens Opgaven ikke i Almindelighed kan Uses, kan den vel løses i visse spe- cielle Tilfælde, idet man kan bestemme Konchoidens Skjæring med rette Linier, der til- fredsstille en vis Betingelse. Tage vi den givne Linie til Abscisseaxe og lade det givne Punkt være (0, — 6), den givne Længde a, bliver Ligningen for Konchoiden a;2 y2 = (y 4- fe)2 (a2 — y2). Dersom nu det givne Punkt har samme Afstand fra begge de givne Linier, kommer det. an paa at bestemme Kurvens Skjæringspimkter med Linien x cos a (?/ 6) sin a - b = O, hvor kun a er vilkaarlig, det vil sige, hvor Linien er en Tangent til den Cirkel, der rorer Abscisseaxen og har sit Centrum i det givne Punkt. Elimination af x giver 4- 2yåb (1 + sin«) + y2 (2b2 (1 -L sin a) — a2cos2a) — 2bya2cos2<x — a2b2cos2a 0. Kvadratrodsuddragning viser, at Koefficienterne i Resten have til fælles Faktor (1 4" sin«) [62 4- a2 + (^2 — ft2) sinaJ- Ligningen kan ogsaa skrives \y2 -j- by (1 -J- sin at) -j- &2 (1 4- sin a)]2 — (y + &)2 (1 s^n a) 17>2 + ai + (^2 — a'2) sin a I’ og altsaa loses ved Kvadratrod. 15) At lægge en Trekant, kongruent med en given, med sine Vinkel- spidser paa tre givne Cirkelperiferier. Dersom Opgaven skal kunne loses ved Passer og Lineal, maa det geometriske Sted for den ene Vinkelspids af en given Trekant, der bevæger sig med sine to andre Vinkel- spidser paa to givne Cirkelperiferier, være en ret Linie eller en Cirkel, men dette er ikke Tilfældet, da det, i det specielle Tilfælde, hvor Cirklerne gaa over til rette Linier, som be- kjendt er et almindeligt Keglesnit. 16) Fra et givet Punkt at trække en Normal til et givet Keglesnit. Da Opgaven falder sammen med den, at trække en Tangent til Keglesnittets Evolut, der ikke er et Keglesnit, kan den ikke loses ved Passer og Lineal. 6. Medens vi ovenfor have benyttet vore Sætninger til at udlede Losningen af givne Konstruktionsopgaver, kunne vi omvendt benytte dem til at bestemme geometriske Steder