Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

Den foreliggende Afhandling maa ikke betragtes som et afsluttet Hele, men snarere som et Gruudlag for en videre Udvikling; jeg haaber, at mange af Sætningerne, navnlig i anden Afdeling, ville vise sig kun at være specielle Tilfælde af andre, der have en langt større Almindelighed. Vi have i første Afsnit kun undersøgt saadanne Ligninger af Graden 2P, der kunne løses ved Kvadratrod, da de geometriske Undersøgelser kun give os Brug for saadanne; det er imidlertid ikke vanskeligt at udvide Ræsonnementerne til at gjælde for saadanne Ligninger af Graden pu (p et Primtal), der kunne leses ved Rodstorrelser med Exponenten p. De i II. fremsatte Methoder til at søge en rational Rod i en Ligning kunne ikke bruges, naar denne indeholder en Kvadratrod, \' a, der betragtes som en bekjendt Størrelse; vi kunne da sætte .i; = b + C V a, hvorved Ligningen deler sig i to andre, hvor man da søger de rationale Rodder b og c. Er Ligningens sidste Led 2» -|- C V a , maa denne Størrelse være delelig med b -j- c V a, og B2 — a C2 altsaa delelig med b2— a c2-, man kan benytte dette til at bestemme b og c ved Løsning af den ube- stemte Ligning x2 — ay2 = /', hvor / er en Faktor i B2 — aC2-, da Ligningen imidlertid kan have uendelig mange Losninger, naar a er positiv, kan denne Fremgangsmaade kun anvendes, naar a er negativ. Vi tænke her som i det Fore- gaaende navnlig paa det Tilfælde, da Koefficienterne ere Tal, da dette er det vanskeligste; ere Koef- ficienterne Bogstaver, har man mange Midler til at lette Undersøgelserne, men disse maa imidlertid rette sig efter de specielle Tilfælde. Abel har som bekjendt undersøgt de Ligninger, hvor en af Rødderne kan udtrykkes som rational Funktion af en anden. Andre specielle Tilfælde ere behandlede af Galois, Hermite, Kronecker og Andre. Hesse har vist, at en Ligning af 9de Grad, hvor Rødderne falde i tre Grupper, saa at enhver i en af Grupperne kan udtrykkes ved den samme rationale, symmetriske Funktion af de to andre, kan loses algebraisk (Bestemmelse af de 9 Inflexionspunkter ved en Kurve af 3die Grad); man har imidlertid, naar Relationen indeholder flere end to Rodder, kun undersøgt specielle Tilfælde; vi skulle fremsætte et Par Bemærkninger om det almindelige. Af de bekjendte Relationer mellem en Lignings Rødder og Koefficienter kan man ved Elimi- nation danne andre, der alle gjælde for hvilkesomhelst af Redderne; vi ville kalde saadanne Forbindelser de naturlige. Er der nu givet en anden rational Ligning mellem Rødderne, tænke vi os denne ved Hjælp af de naturlige Ligninger bragt til at indeholde saa faa af Redderne som muligt og en af disse £• efter hvilken vi ordne Ligningen, skaffet saa lav en Exponent som mulig; vi have da to Ligninger / (a?) = 0 og y(j) 0.