Om Ligninger Der Løses Ved Kvadratrod
Med Anvendelse Paa Problemers Løsning Ved Passer Og Lineal

44 Dividere vi cp(x) i /'(c), erholde vi en Rest B, der maa være 0 for x — da $ i Resten er med lavere Exponent end i maa B — 0 være en naturlig Ligning, da man ellers havde en simplere Relation. Resten bliver da Nul, hvorledes man end vælger de i Koefficienterne forekommende Rødder, og alle Rodderne i cp (£) — 0 maa i alle Tilfælde være Rødder i /'(a?) — 0. Sætte vi i Stedet for f(x) — 0 en naturlig Ligning mellem de i y,(£) —- 0 forekommende Rødder og ræsonnere paa samme Maade, faa vi følgende Sætning: Dersom der existerer en Relation, foruden de naturlige, mellem Rodderne i en irreduktibel Ligning, maa en af de naturlige Ligninger kunne deles i rationale Lig- ninger, der da angive disse Forbindelser. Er en af disse g11 + A, + A., |n~2 .. . . = 0, der er af saa lav Grad som mulig, vil denne Ligning altid bestemme n af Rodderne i / (æ) = 0, hvor- ledes vi end udtage de i Ax, A2. .. forekommende Rødder mellem Rødderne i /'(#) - 0. Det synes vanskeligt at angive noget Almindeligt om, hvorledes Ombytning af de i At, A2... forekommende Rødder bringe Værdierne af £ til at forandres; som nogle specielle Resultater mærkes: Alle Ombytninger give alle Rødderne i f(x) = 0 hver lige mange Gange; En Ombytning af de i At, A2 ... forekommende Rødder giver £ lutter ny Værdier, dersom de ombyttede Redder ikke forekomme symmetrisk. Den af Hesse behandlede Ligning er kun et specielt Tilfælde af en Gruppe, der kan behandles paa den i III. 4. udviklede Maade; Ligningen af 9de Grad deles i tre Ligninger af 3die Grad, hvis Koefficienter bestemmes ved en Ligning af 3die Grad. Umuligheden af at dele en Vinkel i tre lige store Dele ved Passer og Lineal er forst bevist af Wantzel; fejes hertil Cirkelperiferiens Deling af Gauss, er der neppe noget Arbeide af Betydning tilbage, der behandler denne Art Sporgsmaal.