Om Udstrømning af Varme fra Ledninger for varmt Vand

51 du du x du du y ... P v7 T> , er: = -T- . —, og -r- = , og Ligningen for Varmens Bevægelse kan altsaa dx dr r dy dr r skrives: du M2 Fig. 4. di r dr qw ' At denne Ligning virkelig er Differentialligningen for Var- mens Bevægelse i et vilkaarligt Tværsnit i Afstanden 2, kunne vi overbevise os om ved følgende simple Betragtning. Lad P være det Punkt af Ledningen, omkring hvilket Varmen strømmer ud til alle Sider imod Lægningens Overflade AMB. Temperaturen i det Punkt, hvis Coordinate!’ ere r og &>, være w, og Temperaturen i det consecutive Punkt, hvis Coordinate? ere (r-j-rfr) og være samtidig Differentsen mellem disse er,^ ^r- °g den Varmemængde, som i Tidselementet dt strømmer igjennem det uendeligt lille Element af Massen, hvis Overflade (for en Længde-Eenhed af Ledningen) er = rdx og hvis Tykkelse er dr, bliver altsaa du j -j *= k . rdw . dt, dr idet k betegner Legemets Varmeledningsevne, eller den Varmemængde, som i en Tids- Eenhed strømmer igjennem en Eenhed af Overflade paa et Legeme, hvis Tykkelse = 1, naar Differentstemperaturen for begge Sider af Legemet = 1°. Men betegnes Massens Tæthed og dens speciflske Varme ved q og w, saa vil den Varmemængde, som det betragtede Ele- ment af Massen indeholder, være: qwzt . rdco . dr og den Varmemængde, som hele det lille Sector-Element MPM‘ indeholder, bliver altsaa: (qwu . r . da>) dr. Men denne Varmemængdes Variation i Tiden dt maa naturligviis netop være den foran- fundne Varmemængde, som gjennemstrømmer Overfladen rdm i samme Tid dt, hvoraf følger: d \ (Qwurdw) dr , -——----j----------dt = k . rdcø . dt, dt dr som, idet q, w og k ere constante, netop reducerer sig til Formlen (40). Det fuldstændige Integral svarende til Differentialligningen (40) kan fremstilles: