Indbydelsesskrift til Kjøbenhavns Universitets Aarsfest i anledning af Hans Majestæt Kongens Fødselsdag den 8de April 1896
Heri: Om den historiske Udvikling af Matematikken som exakt Videnskab indtil udgangen af det 18de Aarhundrede

med 2. Altsaa er n2 og følgelig ogsaa n et lige Tal. Nu kan n ikke baade være et lige og et ulige Tal. forudsæt- ningen, at' (2 skal kunne fremstilles som en Brøk, er altsaa urigtig. Denne Vanskelighed komme vi nu ud over ved en Ud- videlse af Talbegrebet, idet vi i dette Begreb ej blot ind- befatte hele Tal og Brøker, men ogsaa de saakaldte irratio- nale Tal, hvortil V2 netop hører. Grækerne fastholdt der- imod det oprindelige, ved Tælling opstaaede Talbegreb, ifølge hvilket Tal kun er, hvad vi kalde hele Tal. Ved Hjælp af disse kunde de dog ogsaa fremstille Brøker, idet disse et helt Antal Gange indbefatte saadanne Dele af En- heden, som selv indbefattes et helt Antal Gange i denne; men vore irrationale Tal kunne ikke paa denne Maade nøj- agtig udtrykkes ved hele Tal. Ved saaledes at holde det oprindelige Talbegreb fast undgik Grækerne den Fare, som er forbunden med de succes- sive Udvidelser af det oprindelige Begreb, den nemlig, at man samtidig uden nogen tilsvarende Udvidelse af Beviset udvider de Sætninger, som man har fundet at gjælde for det oprindelige snævrere Begreb. Den Finhed i Tanken, som Grækerne derved lagde for Dagen, vil maaske bedst blive forstaaelig ved en Henvisning til den moderne Undervisning i Mathematik og særlig i Læren om Proportioner, som den idetmindste gaves for ikke lang Tid tilbage. I Geometrien, hvor den græske Mathematiks Principer for en stor Del be- vares, fastholdes det, at man ikke kan nøjes med at betragte saadanne Tilfælde, hvor Forholdene finde Sted mellem Stør- relser, som have et endeligt fælles Maal eller ere kommensu- rable; i Arithmetiken derimod udvikles Proportionslæren, førend der har været Tale om irrationale Tal, og anvendes dog senere ogsaa paa saadanne Tal uden nye Beviser. Det var ikke nogen Mangel paa Evne til at se Over- ensstemmelsen mellem Regninger med Tal og de tilsvarende Operationer med inkommensurable Størrelser, som bevarede