Historisk Mathematik
Et indledende Kursus

DEN PYTHAGORÆISKE LÆRESÆTNING. 159 Kvadraterne på Katheterne i en retvinklet Trekant ere tilsammen lig Kvadratet på Hypotenusen. Ganske vist kunde man nu indvende: ja, dette var rigtigt for den retvinklede Trekant, vi i det omhandlede Tilfælde traf på; men er det rigtigt for enhver retvinklet Trekant? Man vilde kunne forvisse sig herom ved at gjøre alle de tilsvarende Slutninger i omvendt Orden, idet man kan begynde med en hvilkensomhelst retvinklet Trekant, gående ud fra Tg. 81. Men Euklid, om hvem senere, har et Par Hundrede År efter givet et smukt Bevis for den pythagoræiske Læresætning, som vi for Sammen- hængens Skyld ville tage her. § 119. På hver af Siderne i den retvinklede Trekant abc (Tg. 82) tegnes et Kvadrat. Fra den rette Vinkels Spids c tegnes en Linie cd vinkelret på Hypothenusen og forlænges til e. Da kan man først bevise, at Kva- dratet på ac er lig Rektanglet adem, eller at Kvadratet på en Kathete er lig et Rektangel, hvis ene Side er Hypothenusen, og hvis anden Side er Ka- thetens Projektion eller Underligger på Hypothenusen, idet man ved en Linies (ae) Projektion (ad) på en anden (ab) forståer det Stykke af den sidste, der ligger imellem vinkelrette Linier fra den førstes Ender. For at bevise den nævnte Sætning, tegner man Li- nierne nb og cm, hvorved man fåer to Trekanter nab og cam, der ere samfældige; thi Siderne na og ab i den ene Trekant ere lig ca og am i den anden, og Vinklen imellem disse to Sider er i hver Trekant lig med en ret Vinkel og x i Forening. Trekanterne have altså to Sider og den mellemliggende Vinkel lige store og ere således samfældige (§ 102, Ex. 9 a), følgelig også lige store. Men den første Trekant nab er halvt så stor som Kvadratet på na (§ 113), og den anden Trekant cam er halvt så stort som Rektanglet amed (§ 113), følgelig er hint Kvadrat lig dette Rektangel. Heraf følger da også, at Kvadratet på den anden