Historisk Mathematik
Et indledende Kursus

164 »USIGELIGE« STØRRELSER. Skare ikke findes to Tal, som nøjagtigt kunne svare til Kathete og Hypothenuse i den ligebenede retvinklede Trekant. Lad os først prøve nogle Tal, som kunde synes omtrentligt at passe, f. Ex. a = 2, 6 = 3; Katheternes Kvadrater blive da 4 og 4, ialt 8, Hypothenusens 9; — stemmer ikke, a = 5, b = 7: Katheternes Kvadrater 25 og 25, ialt 50, Hypothenusens kun 49. a = 12, ö= 17; Katheternes 144 og 144, ialt 288, Hypothenusens der- imod 289; og ethvert Forsøg vil vise sig forgjæves. Dette var Pythagoras klar på, og en Bemærkning af en senere Forfatter gjør det rimeligt, at det har været på en lignende Måde som følgende, at Pythagoras har klaret dette; thi der angives, at Grunden til, at to sådanne Tal ikke lade sig finde, er den, at „et lige Tal ikke kan være det samme som et ulige Tal“. Lad os se, hvorledes dette Bevis må være at forstå. At der skulde gives to Tal, der kunne passe på a og b, vil sige, at der skulde være et vist lidet Liniemål, som indeholdes et helt Antal Gange i Linien a, og også et helt Antal Gange i Linien b. Man kalder det, at a og b have et fælles Mål eller (med et latinsk Ord), at a og b ere kommensurable. — Vi behøve ikke at befatte os med et fælles Mål, som skulde indeholdes et lige Antal Gange i a, f. Ex. 10, og et lige Antal i b, f. Ex. 14; thi fandtes der et sådant; så behøvede man blot at tage et dobbelt så stort Mål, da vilde det indeholdes halvt så mange Gange i a, nemlig 5, og halvt så mange Gange i b, nemlig 7. Således kan man altid sige, hvis begge Tallene ere lige, og man kan blive ved dermed, indtil et af Tallene eller begge Tallene blive ulige. — Men nu kan man indse, at når a er et helt Tal, vil a Gange a også være et helt Tal; og når dette fordobles, fåer man et lige Tal. Altså må b Gange b, som er lige stort her- med, være lige; thi ulige Gange ulige kan ikke give lige. Er a hel, må b altså altid være lige. Nu er således