Historisk Mathematik
Et indledende Kursus

»USIGELIGE« STØRRELSER. 165 den eneste Mulighed, at b skulde kunne være et lige Antal Småmål, a et ulige Antal af samme Småmål. — Tænker man sig nu en Linie trukket fra den rette Vinkels Spids (Tg. 84) til Midten af fåer man åben- bart en ligebenet retvinklet Trekant (eller rettere to sådanne), hvis Hypothenuse er a, og hvis to Katheter ere men da b var et lige Antal Småmål, må fb dog være et helt Antal Småmål; og vi have altså nu en ligebenet retvinklet Trekant, hvor Katheterne (| b) ere et vist helt Antal Småmål, og hvor Hypothenusen a altså, som før blev vist, må være et lige Antal af samme Småmål; men vi betragte jo netop det Tilfælde, at a er et ulige Antal af samme Småmål. Da »et lige Tal ikke kan være det samme som et ulige Tal«, er der altså ingen Mulighed mere for at a og b overhovedet kunne være to hele Tal; der gives ikke noget Må], der inde- holdes et vist Antal Gange i a og et vist Antal i b. § 122. Lad os exempelvis tænke os Trekanten tegnet således, at a er 1 Da må b være større end 1, men dog mindre end 2. Man kunde altså tænke sig b som et blandet Tal (§ 43) imellem 1 og 2; men et sådant kan altid tænkes omskrevet til en uægte Brøk (§ 43); og vi kunne tænke os den så forkortet, som den overhovedet kan forkortes. — Er dette nu muligt? Kvadratet på a er 1; Kvadraterne på Katheterne ere altså tilsammen 2. Kvadratet på b skal altså være 2. Men en uforkortelig Brøk Gange sig selv kan åbenbart ikke give 2 eller i det hele taget ikke noget helt Tal, men må give en uforkortelig Brøk. Pythagoras gjorde herved den Opdagelse at der gives .Størrelser, der hverken ere hele Tal eller Brøker. Han kaldte dem usigelige Størrelser. I vore Dage plejer man at kalde dem med et latinsk Ord irrationale Tal, o: uforstandige Tal, men det kan ikke nægtes, at der er vel så god Mening i Pytha- goras’ Udtryksmåde. I og for sig er nemlig Størrelsen bestemt og klar nok. Tænkes fra en ret Vinkels Spids