Graphische Behandlung Der Kontinuierlichen Träger mit festen, elastisch senkbaren oder drehbaren und elastisch senk- und drehbaren Stützen

Sonder - Abdruck aus der Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen, Jahrg. 1905, Heft 1. Graphische Behandlung der kontinuierlichen Träger mit festen, elastisch senkbaren oder drehbaren und elastisch senk- und drehbaren Stützen. Von A. Ostenfeld, Prof. a. Dei der graphischen Behandlung der kontinuierlichen Träger mit beliebig vielen Stützpunkten sind zurzeit namentlich zwei verschiedene Verfahren im Gebrauch. Das erste verwendet das ursprünglich von Mohr eingeführte, von Winkler u. a. weiter vervollkommnete elastische Seilpolygon und hat im bekannten Werke von W. Ritter („Der kontinuierliche Balken“, Zürich 1900) seine höchste Entwicklung erreicht, wobei doch zu bemerken ist, daß die Behandlung mit Hülfe des genannten Seilpolygons für Träger mit elastisch senkbaren Stützen nicht durch- geführt wurde (bekanntlich hat neuerdings Vianello in Z. d. Ver. d. Ing. 1904, von dem Ritterschen Grund- gedanken ausgehend, aber mit anderen Hülfsmitteln die Behandlung dieser Träger weiter geführt); für eine ein- heitliche Behandlung aller Arten von kontinuierlichen Trä- gern scheint das Verfahren hiernach nicht unbedingt ge- eignet zu sein. Die zweite Methode zielt dahin, den Schlußlinienzug für das Momentenpolygon des Trägers unmittelbar zu konstruieren. So viel dem Verfasser be- kannt, wurde dieses Verfahren zuerst von Claxton Fidler, Dundee, angegeben („Trans. Inst. C. E.“, Vol. LXXIV, Okt. 1883); später ist es auch von Müller- Breslau verwendet („Zeitschr. f. Bauwesen“ 1891, sowie in seiner „Graph. Statik“, II, 1892), von den beiden genannten Autoren doch nur für Träger mit festen Stütz- punkten. Der vorliegende Aufsatz bezweckt nun, zu zeigen, daß diese Behandlungsweise für alle in der Ueber- schrift genannten Trägerarten verhältnismäßig einfach und ganz einheitlich zum Ziele führt. Wir beginnen mit dem einfachsten Falle von festen Stützpunkten; das Verfahren hier ist zwar bekannt, braucht daher nur, um das Ver- ständnis des folgenden zu erleichtern, kurz auseinander- gesetzt zu werden. I. Feste Stützpunkte. Wir benutzen die folgenden Bezeichnungen (Abb. 1): für die Stützpunkte 0 l...r — 1, r, » -hl...« „ „ Stützenmomente Ma MA...Mr_t AI, .M^ Mn „ „ Feldlängen ( Ir+x /„. Die Stützenmomente M werden positiv gezählt, wenn sie eine Biegung mit der Konkavität nach oben hervor- rufen. Als überzählige Größen führen wir ein: X, = — Mv X2 = — M2.... X„ = — Mt.............; das Hauptsystem ist dann die in Abb. 1 (unten) gezeigte Reihe von ein- fachen Balken. Für den einfachen Balken (r — 1) — r, mit der ge- gebenen Belastung und außerdem mit den Momenten X,.., und X,. belastet, ergibt sich ein Tangentenwinkel beim Stützpunkt r, den wir 8^ nennen und positiv in der Richtung X,. = — 1 rechnen wollen; für den Balken r— (r + 1) erhält man aus den entsprechenden Ursachen d. Techn. Hochschule, Kopenhagen. einen Tangentenwinkel 8”, ebenfalls im Punkte r. Die Grund- gleiehnngen zur Berechnung der unbekannten X sind dann: 1) s;=— s; und die analogen. Diese Winkel können, wie folgt, aus- gedrückt werden: I^r = ^^m^mr ^-i - — X„ ^rr + 0r, + I^r ' ^^m ^rnr ^rfjrr ^r+t ^r+l,r ~F ^rt 4 ^ruf wo alle die Größen 8 auf der rechten Seite (siehe Abb. 1, ganz unten) Formänderungen im Hauptsystem bedeuten und zwar: 8mr, %„ die Durchbiegungen des einfachen Balkens links bzw. rechts des r*®“ Stützpunktes infolge von der Belastung X, . = — 1, ^r-i,r, Ö'rr die Winkeldrehungen des einfachen Balkens (r— 1) — r am {r — l)ten bzw. rten Stütz- punkt, und 8''r, 8r+lr die entsprechenden Winkeldrehungen des Balkens r — • (r + 1) am rten bzw. (r + l)ten Stütz- punkt, alle vier infolge von derselben Belastung Xr = — 1, 8r„ 8", die von einer Temperaturvariation und 8ru, 8"„ die von einem eventuellen Nachgeben der Stütz- punkte bewirkten Drehungen der Tangente in r, links bzw. rechts des Stützpunktes. Die Durchbiegungen 8mr können mit Hülfe der ge- wöhnlichen „»-Kräfte“ berechnet oder konstruiert werden. Bezeichnet man die von den »-Kräften ausgetibten Stützen drücke allgemein mit V' oder V", je nachdem sie vom Felde links oder rechts des betreffenden Stützpunktes her- rühren, während der unten hinzugefügte Doppelindex die- selbe Bedeutung wie bei den Größen 8 hat, so ist: Mit diesen Erklärungen sind die Gleichungen 2) all- gemein gültig, ganz unabhängig von der näheren Be- schaffenheit des Trägers (ob Fachwerk oder vollwandig, mit konstantem oder veränderlichem Trägheitsmoment). 8r/ und 8ru können in den verschiedenen Fällen leicht berechnet werden, z. B. mit Hülfe der Arbeitsgleichung; speziell ist 4) §'=A±i ZzAi g" — Ar+ |Ar wenn A„ die absolute Bewegung (positiv nach unten) des rten Stützpunktes bedeutet. Die graphische Behandlung, mit der wir uns hier beschäftigen sollen, ist nun einfach eine graphische Auf- lösung der Gleichungen 1). Man denkt sich (Abb. 2) die gesuchten Größen X als Ordinaten in den Stützpunkten abgetragen, also Ar^ar_t = X,..,, Arar = Xr usw.; die Aufgabe ist dann gelöst, wenn es gelingt, den „Schluß- linienzug“ .. . ar_l a,.ar+i .... zu bestimmen. Der Kürze halber schreiben wir die Ausdrücke 2): 5) 8;=x;-(arxr.t + ß;xr), 8;=x;-(ß;xr + Trxr+1), wo also K',. und K, die bekannten Glieder bezeichnen. Nun betrachtet man die Koeffiziente a, ß, f in 5) als lot- rechte Kräfte, a„ in Ar_t angreifend, ß'r und ß" beide in A, .und y,. in 4r+1, bestimmt die Angriffspunkte U',., U",. und 0” von den Resultanten ar -j- ß'., ß" + ?„ und