Bidrag Til Bestemmelse Af Meteorologiske Elementers Perioder 1915

MINDSTE MIDDELFEJLS PRINCIP. 15 Værdier skal være saa smaa som muligt. Men i denne Skikkelse er Principet for vagt; man maa vedtage, hvorledes Fejlenes Størrelse skal vurderes, før- end man ved dets Hjælp kan udlede en Udjevningsmetode. Af praktiske Hensyn findes der her ikke Anledning til at benytte andet Maal for Fejlen end Middelfejlen, og Principet kommer da til at lyde saaledes: Middelfejlene paa de udjevnede Værdier skal være saa smaa som muligt. I omtrent denne Skikkelse findes Principet hos Gauss l), der anvender det til at vise Beret- tigelsen af mindste Kvadraters Metode. — Det er en Selvfølge, at de ud- jevnede Værdier skal tilfredsstille visse andre Betingelser foruden den Be- tingelse, som direkte indeholdes i Principet, thi naar man kender Iagttagel- sernes Fejllove, kan man beregne Middelfejlen for ethvert Udtryk af Iagt- tagelserne, men ethvert saadant Udtryk kan ikke repræsentere en udjevnet Værdi. Vore Opgavers Natur og lagttagelsesværdiernes Egenskaber tillader ikke, at vi ligefrem udleder den Udjevningsmetode, som senere vil blive om- talt, af dette Princip; det vil dog finde nogen direkte Anvendelse, men iøv- rigt bliver det nærmest kun vejledende for os, idet Principet viser os det Maal, som vi skal stræbe efter at naa. Det skal nu først vises, hvorledes man ved Hjælp af mindste Middel- fejls Princip kommer til Normalligningerne, naar Iagttagelserne er frie (men ikke, naar de er bundet ti] hverandre). Derved opnaar vi ikke blot at se, hvorledes det almindelige Princip virker i det specielle Tilfælde, men vi faar tillige velkendte Resultater som Udgangspunkt for senere Undersøgelser. Den følgende Fremstilling slutter sig nærmest til Helmert-}. Vi gaar ud fra, at der foreligger n Iagttagelser, o, og at der skal be- stemmes m Elementer, x, y • • • • z. Endvidere gaar vi ud fra, at dersom man kendte de sande Værdier af o — vi kalder dem v — kunde man opstille n Ligninger: (1) Vi = piX-P qi YH----------1- nZ, (z = 1, 2, 3 • • • - ?z), hvor X, Y- • • -Z er de sande Værdier af x, y • • • -z, og </• • • -r er givne Tal. Opgaven er da at finde visse Repræsentanter for v — vi kalder dem u. — som for det første tilfredsstiller de til (i) svarende n Ligninger Ui = piX + cyy H---------V rtz, og for det andet har den mindst mulige Middelfejl. Vi løser Opgaven ved først at bestemme Elementerne; hertil har man kun de n Iagttagelser, og vi ved tag er nu, at Elementerne skal udtrykkes lineært ved disse Iagttagelser. Vi sætter derfor »Abhandlung zur Methode der kleinsten Quadrate«. Berlin. 1887. S. 19 — 27. 2) F. R. Helmert: »Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate«. Leipzig & Berlin 1907.