Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

296 X. Kapitel. 98 Sætninger som dem, vi har kaldt 1.—3. For nøjere at prøve denne Antagelse er det værd at undersøge, hvad vi ved om den Form, hvori disse Sætninger optraadle paa Eudemos’ Tid. Faar vi end ikke derved fuld Sikkerhed for vor Forklaring af Eudemos’ Meddelelser om Thales, vil vi paa den anden Side erfare noget om Geo- metrien umiddelbart før Euklid, navnlig om den Rolle, som Vinkler mellem rette og krumme Linier eller mellem krumme Linier indbyrdes da spillede. Hvad nu først den Sætning hos Thales angaar, som vi har kaldt 1., saa findes den hos Euklid, dog ikke som bevist Sætning, men derimod som Led i I. Bogs Definition 17. paa en Diameter; der tilføjes nemlig, at en saadan deler Cirklen i lo ligestore Dele. Den tages altsaa med iblandt Geometriens Forudsætninger. Dette synes i flere Henseender gaadefuldt. For det første synes Euklid ikke noget Sled at anvende den. Den er da bleven staaende som en Levning fra et ældre Arbejde, hvor den virkelig er bleven anvendt1), og hvor den iøvrigt kan være optraadt som Forudsætning eller som bevist Sætning. Det sidste er dog rimeligst, da Eudemos omtaler den som en Sætning, og da man paa Theudios’ Tid endnu ikke gjorde sig nogen Skrupel af at bevise en saadan Sætning ved at lægge den ene Halvcirkel over paa den anden; men paa dette Punkt var Euklid særlig forsigtig, hvad man i III. Bog ser af, at han finder det rigtigt ogsaa at opstille Ligestorheden af to Cirk- ler med samme Radius som Definition 1. I begge Tilfælde havde det dog været ham muligt at ombytte Flytningen med et postulatbestemt „Problem“, ikke at tale om, at Sætningen om Ligestorheden af Cirkler med samme Radius vilde fremgaa af den samme Grænseovergang, som i XII, 1 benyttes til al vise, al to vilkaarlige Cirkler er proportionale med Radiernes Kvadrater. Den Thales tillagte Sætning vil have indbefattet Muligheden af at bringe to Halvcirkler af samme Cirkel saml dertil paa ens Maade knyttede Figurer til Dækning baade ved Forskydning og Om- lægning. For den anden af de Thales tillagte Sætninger, nemlig om Ligestorheden af Vinklerne ved Grundlinien i en ligebenet Trekant, har Aristoteles (41b6ff.) med- delt el Bevis, som rimeligvis har været at finde i Theudios’ Elementer3). Del byg- ges paa følgende to Sætninger om Vinkler mellem rette Linier og Cirkelbuer: i samme Cirkel er Halvcirklers Vinkler, det er Vinklerne mellem en Cirkelbue og en Diameter, ligestore, og: et Cirkelafsnits to Vinkler, det er de to Vinkler, som en Cirkelbue danner med sin Korde, er indbyrdes ligestore. Begge Sætninger er rime- ligvis beviste ved i Overensstemmelse med Thales’ Sætning 1. henholdsvis at lægge de lo Halvcirkler eller dem, hvori Cirklen deles af Diameteren vinkelret paa Kor- den, over paa hinanden. Disse Sætninger benyttes (Fig. 11) til at bevise, at Vink- lerne ved Grundlinien i en ligebenet Trekant OAB, hvor (M = OB, er ligestore, idel de hver for sig i en Cirkel med Centrum O er Differensen mellem en Diameters Vinkel med Periferien og en af Afsnittet AB’s Vinkler. *) Dens Opstilling minder om, hvad vi (S. 85 (283)) har sagt om Postulat 4., navnlig hvis dette op- rindelig har været bestemt til at hævde den Brug af Gnomon, som Euklid jo netop luir gjort overflødig. 2) Det forklares nøjere af Heibukg i Vid. Sejsk. Oversigt 1888 S. 1 f.