Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

99 Vinkelbegrebets Opstaaen 297 Al, idel vi fuldstændiggør Figuren som paa Fig. 11, Vinklerne ved Grundlinien i Trekant OAB er ligestore med Vinklerne ved Grundlinien i Trekant OCD, kan man dernæst slutte, idet man nu ogsaa benytter den tredie Sætning, som Eudemos tillægger Thales, nemlig at Topvinklerne ved O i disse to Trekanter er ligestore Saa maa han dog tillige tillægge Thales Kendskab til endnu en Sætning, nemlig enten, at Summen af Vinklerne i hver af disse to Trekanter er lig to rette, eller at de Lo Trekanter, naar man ved, al de nævnte Topvinkler samt deres Ben er lige- store, kan bringes til Dækning. Kendskab til Sætningen om Vinkelsummen tillæg- ger Eudemos dog først Pythagoreerne, og han kunde ikke have overset det, hvis Thales efter hans Restitution af dennes Bevis maatte have benyttet denne Sætning. Derimod kan han have betragtet Muligheden af at bringe Trekanterne til Dækning som en simpel Følge af, at de vil følge med to Halvcirkler, som kan bringes til Dækning. Paa lignende Maade bliver de 4 Vinkler ved Grundlinierne i Trekanterne DOA og BOC ligestore, og deraf vil følge, at alle fire Vinkler i Firkanten er ligestore, At de da maa være relle, er ikke en Anvendelse af Sætningen om Vinkelsummen i en Trekant eller en Firkant, men tvært- imod, som vi har set, el oprindeligt Kendetegn paa rette Vinkler. Trods sin egen matheinatiske Skoling kan ogsaa Ei demos have faaet Blik herfor ved sine Studier af den ældre græske Mathematik, hvilke Kilder han nu har haft til sin Raadighed. Paa denne Maade ser vi, al, naar Eudemos vilde til- lægge Thales Kendskab til de Sætninger, som han selv ved en Analyse fandt at ligge til Grund for den Konstruktion af Rektangler og rette Vinkler, som tillagdes ham, og tage saa- danne, som fandtes i de da foreliggende Elementer, var intet Valg naturligere end del af de Sætninger, som vi har opstillet som 1., 2. og 3. Naar derved kunde und- væres en Henvisning til, at Summen af Vinklerne i en Trekant er to rolle, beroede det dog paa, al en Anvendelse heraf kun blev undgaaet ved netop at bestemme rette Vinkler som saadanne, der forekommer som Vinkler i en Firkant med lutter ligestore Vinkler. Skærer man derimod den ene Halvcirkel og med den den ene af de to Trekanter, hvoraf Firkanten bestaar, bort, og vil man saa bevise Sætningen om den anden Trekant, maa man paa denne anvende Sætningen om Vinkelsummen i en Trekant. Derved kommer man omtrent til det Bevis, som findes i Euklid 111,31.'). ’) Om det direkte Bevis for Thales’ Sætning, som maaske har været at finde i Theudios’ Ele- menter, faar man ikke tilstrækkelige Oplysninger i den Begrundelse, som Aristoteles omtaler S. 94a28 og 10<r>la 26. Det vilde, saavidt man kan se, falde sammen med Euklid s, naar dette udelukkende an- vendes paa et særlig simpelt Tilfælde, nemlig en ligebenet retvinklet Trekant. At Heiberg dog deri (Mathematisches zu Aristoteles S. 21) kan tro at se Theudios’ Begrundelse af den almindelige Sætning om Periferivinkler i en Halvcirkel, maa bero paa en Forudsætning om, at Theudios ligesom Euklid forud skulde have bevist, at Periferivinkler paa samme Bue er ligestore, og at han derfor kan nøjes med at betragte en af Periferivinklerne paa samme Bue. Den nævnte Forudsætning er imidlertid hos Euklid netop ikke forud bevist om Periferivinkler paa en Halvcirkel. Sætning 111,20., at en Periferi- 39*