Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

298 X. Kapitel. 100 Fig. 12. Her er jeg gaaet ud fra, at Thales virkelig har kendt den saakaldte „Thaies’ Sætning“, som vi har betegnet som Nr. 4. Har han derimod, som M. C. P. Schmidt antager1), ikke gjort det, eller har Eudemos ikke kendt andre Konstruktioner af ham, der i Eudemos’ Øjne vidner om Kendskab til 1.—3., som man paa dennes egen Tid udtrykkelig opstillede som Sætninger, maa allerede Thales have fundet det hen- sigtsmæssigt udtrykkelig at udtale Sandheder, om hvis Rigtighed ingen, der har haft med Cirkler, skærende Linier eller ligebenede Trekanter at gøre (f. Ex. Byg- mesteren af den Gavl, som har gjort Thales opmærksom paa disse) vil have næret nogen Tvivl. I saa Fald vilde Thales have gjort mere, end vi har turdet tillægge ham, nemlig det første Skridt til en theoretisk Behandling af Geometrien; han vilde da være den, som for at give saadanne Sandheder Udtryk har indført Vinkelbegrebet, dog begrænset til ligedannede (ligestore) Vinkler, og Sætningerne 2. og 3. vilde da være bevarede Exempler paa hans Anvendelse af dette Begreb. Det saaledes begrænsede Vinkelbegreb har i intet Tilfælde ladet vente længe paa sig, og den dertil knyttede Sammenligning af ligestore Vinkler maatte snart udvides til en kvantitativ Sammenligning af uligestore. Man maatte se, at naar ligestore Vinkler ligger som Sidevinkler, kan de adderes, og saasnart man tillige har begyndt i Stedet for Rektangler at betragte de retvinklede Trekanter, hvori et saadant deles ved en Diagonal, saa vil man ikke have været i Tvivl om, at Summen af de spidse Vinkler i en saadan Trekant er en ret Vinkel, eller at Summen af alle denne Trekants Vinkler er to rette. Herfra er Springet ikke langt til som paa Fig. 12 at dele en vilkaarlig Trekant i to retvinklede ved Højden paa en af Siderne og derved finde, at ogsaa Summen af Vinklerne i enhver Trekant er lig to rette. Denne Be- grundelse findes, som M. Cantor har gjort opmærksom paa *), i en Bog, der vel vinkel er halv saa stoi’ som Centervinklen paa samme Bue, kan nemlig efter den foreliggende Begrun- delse umiddelbart kun finde Anvendelse paa spidse Periferivinkler; thi for rette eller stumpe Vinkler vilde den tilsvarende Centervinkel ikke falde ind under det euklidiske Vinkelbegreb. At Euklid kun tænker paa Vinkler, som er mindre end to rette, fremgaar nemlig allerede af deres Inddeling i rette, stumpe og spidse i I. Bogs Definitioner 10.—12. Sætning III, 21., at Vinkler i samme Afsnit er lige store, er altsaa endnu kun bevist for spidse Vinkler, altsaa naar det omskrevne Afsnit er større end en Halvcirkel; Sætning 11(22. udvider den dog straks til ogsaa at gælde for Vinkler i et Afsnit, som er mindre end en Halvcirkel, idet det bevises, at Summen af de modstaaende Vinkler i en Firkant ind- skreven i en Cirkel er to rette. I Beviset anvendes vel 111,21., men saaledes at man kan lade det være spidse Vinkler, hvorpaa den anvendes. Et fuldt gennemført formelt Bevis for, at Periferivinklerne i en Halvcirkel er ligestore, foreligger altsaa endnu ikke, og derfor kan Euklid i det i 111,31. givne Bevis ikke indskrænke sig til ved Betragtning af det hos Aristoteles omtalte specielle Tilfælde at bestemme en fælles Værdi for disse Vinkler, men han bevisei’ direkte, at enhver saadan Vinkel er ret. I Reali- teten naar han saaledes alt trods den mindre heldige Ordning af disse Sætninger. ’) Se S. 29 — 41 i det (S. 64 (262)) anførte Skrift. Man vil iøvi’igt bemærke, at Schmidt i Vurde- ringen af de forskellige Fremskridt mere ser paa deres Bidrag til Euklid’s færdige synthetiske System end tager saadanne psykologiske Hensyn, som jeg i nærværende Skrift har ment at maatte gøre gældende. 2) Vorlesungen über Geschichte der Mathematik I, (3. Auflage), S. 144.