Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

101 Vinkelbegrebets Opstaaen. 299 skyldes en anonym Landmaaler fra X. Aarhundrede efter Chr., men som er udskreven efter virkelig gamle Mønstre. Det saaledes fundne Bevis afviger iøvrigt ikke saa meget, som det i første Øje- blik kunde synes, fra det, som Eudemos tillægger Pythagoreerne (Proklos S. 379). Dette kan tværtimod være fremgaaet af hint ved en meget naturlig Udvikling. Lige- som Begrebet rette Vinkler oprindelig har været knyttet til Rektangler, saaledes er det nemlig ogsaa gaaet med Paralleler, og Thales’ udførlig omtalte Konstruktion har ligesaavel været en Konstruktion af Paralleler som af rette Vinkler. Betragtning af Diagonalen i et Rektangel viser da Ligestorheden af de indvendige Vekselvinkler, som en ret Linie danner med to Paralleler, som den overskærer. Fig. 12, der an- skuelig fremstiller den Begrundelse, som vi antager for den ældste, vil da, naar vi borttager de tre lodrette Linier, umiddelbart gengive det af Eudemos anførte pytha- goreiske Bevis. I dette drages gennem C en Linie parallel med AB. Da er ifølge den anførte Egenskab ved Paralleler de to med a betegnede Vinkler begge lig Trekantsvinklen A, de med /? betegnede lig Trekantsvinklen B, og det viser sig, aL A 4~ C + B = to rette. Og dette er netop det Bevis, som Eudemos tillægger Pythagoreerne. Den Maade, hvorpaa vi her kommer til Sætningen om Vinkelsummen, afviger derimod fra en ved Eutokios overleveret’) Beretning af Geminos, efter hvilken Sæt- ningen først skulde være vist for ligesidede, dernæst for ligebenede og dernæst for uligebenede Trekanter. Denne tilsyneladende historiske Meddelelse turde imidlertid, som Heiberg bemærker2), bero paa en Misforstaaelse af en rent logisk Betragtning hos Aristoteles. Denne bruger nemlig oftere og navnlig 74a 25 det nævnte Exempel fra Trekanter til al oplyse, at del er at foretrække at bevise en almindelig Sætning ved Argumenter, som paa en Gang gælder alle Tilfælde, for at bevise de enkelle Tilfælde hvert for sig, selv om man ogsaa saaledes kan faa bevist, at den virkelig gælder i alle Tilfælde; men han siger ikke noget om, at det skulde være gaael saa- ledes til ved den historiske Opdagelse af Sætningen. Havde Geminos haft sin Op- lysning fra en virkelig historisk Kilde som Eudemos, vilde Proklos vel heller ikke have undladt at medtage den i sin Kommentar3). I det mindste fra Oinopides af kunde man konstruktivt Hytte Vinkler, derved addere og subtrahere dem og multiplicere dem med hele Tal. Dermed var ogsaa den Opgave at dividere dem med et helt Tal stillet, og en dertil tjenende Kurve, ’) Apollonios ed. Heiberg II, S. 170. 2) Mathematisches zu Aristoteles S. 20. •’) Naar Geminos ikke ligefrem øser af ældre historiske Kilder som Eudemos, maa man netop paa Grund af hans større Selvstændighed i Fremhævelsen af det, der netop ligger ham paa Sinde, bruge hans historiske Oplysninger med en vis Varsomhed. Saaledes har det været en uheldig Genvej til at finde de Fremskridt, som i Keglesnitslæren særlig skulde skyldes Apollonios, at se hen til Geminos’ korte Omtale af Apollonios’ nye Udgangspunkter i Stedet for at søge det ved det ganske vist vidtløf- tigere Studium af Archimedes’ Skrifter og Apollonios’ Keglesnitslære selv. Gør man dette sidste, vil man derved ogsaa faa fat paa den rette Betydning og Begrænsning af Geminos’ Bemærkninger om det sidstnævnte Værk. (Se min Keglesnitslæren i Oldtiden, 2. Afsnit).