Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

300 X. Kapitel. 102 som i alt Fald kunde give en theoretisk Opløsning, nemlig Hippias’ Kvadratrix, blev tidlig udtænkt. En praktisk Halvering ved Lineal og Passer turde dog være ældre; den egnede sig ogsaa, men uden at disse 'Redskaber nævnes, til Optagelse paa sit Sted (se forrige Kapitel) i Euklid’s Elementer. Da det ikke lykkedes at tredele Vinklen ved Lineal og Passer, har man udtænkt forskellige Maader at løse denne Opgave paa ved en Indskydning (yewu;), og da Brugen af dette Hjælpemid- del ikke hjemledes ved Euklid’s Postulater, niaatte for denne Opgave Brugen af Keglesnit blive obligatorisk fra den Tid af, da man havde godkendt disses Anven- delse til Konstruktion af to Mellemproportionaler. De lier omtalte Konstruktioner vedrører kun Vinkler mellem rette Linier/Om saadanne Vinkler har vi iøvrigt i Kap. VIII set, at den kvantitative Betydning af det i Def. 9. foreløbig indførte Vinkelbegreb, som af andre geometriske Størrelses- bestemmelser, gives i „Almindelige Begreber“ 7. og 8., men at man for at benytte denne uden mekanisk Flytning, maatle støtte sig til en konstruktivt anvendelig Bestemmelse af lige store Vinkler, nemlig som ensliggende Vinkler i Trekanter med ligestore Sider. Retlinede Vinkler er dernæst delagtige i det Kendetegn, som Euklid i V. Def. 4. opstiller paa Størrelser, paa hvilke den i denne Bog indeholdte almindelige Propor- tionslære, som i Virkelighedener en almindelig Størrelseslære, skal kunne anvendes; thi ogsaa om dem gælder det, at en Vinkel „ved at mangfoldiggøres kan overgaa“ en anden Vinkel. Derfor kan Euklid ogsaa i VI, 33. føre et almindeligt Bevis for, at retlinede Vinkler er proportionale med de Buer, til hvilke de i samme eller ligestore Cirkler er Centervinkler eller Periferi vinkler. Fig. 13. Forudsætningen for Proportionalitet gælder derimod ikke, naar (len ene Vinkel er krumlinet eller blandetlinet, den anden retlinet. Af Sætning III, 16., hvori del udtales, al i et Punkt af en Cirkelperiferi ingen ret Linie kan drages i Mellem rum- met mellem den Linie, som staar vinkelret paa Diameteren til dette Punkt (altsaa Tangenten), og Periferien, fremgaar, at Tangentens Vinkel med Periferien er mindre end enhver retlinet spids Vinkel. Om den gælder altsaa ikke, at den „ved al mang- foldiggøres kan overgaa“ en given retlinet Vinkel. En saadan „hornformet“ Vinkel har altsaa intet Forhold til en retlinet Vinkel. Dens Behandling gaar altsaa ikke ind under Euklid’s almindelige Størrelseslære i V. Bog; det samme vil gælde om andre Vinkler mellem hinanden skærende rette Linier og Cirkelbuer eller saadanne indbyrdes; thi disse er Summer eller Differenser af retlinede og hornformede Vink- ler. Da nu disse sidste ifølge III, 16. er forsvindende i Sammenligning med de før- ste, vilde det have været rigtigst af Euklid, da lian dog heller ikke anstiller nogen Sam- menligning mellem hornformede Vinkler indbyrdes, i Stedet for om Vinklerne mel- lem krumme Linier udelukkende at tale om Vinklerne mellem disse Liniers Tan- genter. Naar han dog ikke indskrænker sig dertil, men laler om et Afsnits eller en Halvcirkels Vinkler uden f. Ex. al sige, at disse sidste er rette, giver delte endog