Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

103 Vinkelbegrebets Opstaaen. 301 Anledning til en formel Selvmodsigelse. At sige i III. Def. 11., al ligedannede Cirkel- afsnit er saadanne, hvis Vinkler (o: Buens med Korden, III, Def. 7.) er ligestore, staar saaledes (se Fig. 13) i formel Strid med I Aim. Begr. 8., som siger, at en Del er mindre end det hele. Euklid har imidlertid paa dette som andre Punkter be- varet Begreber, som han dog ikke gør nogen virkelig Brug af. Euklid’s III, 16. indeholder i Virkeligheden Forklaringen af denne Selvmod- sigelse og forbyder ham at anvende den almindelige Størrelseslære i V. Bog paa krumlinede Vinkler; men den berørte Selvmodsigelse peger hen paa en Uklarhed, som oprindelig maa have været tilstede i den intuitive Opfattelse af krumlinede Vinkler, af hvilke man, som vi har set, før ham har gjort mere omfattende Brug. Psykologisk beror den tildels paa en Sammenblanding af de to til Grund liggende Synsoplevelser af en Vinkel som Konturvinkel eller som Fladevinkel. Den første gives der Udtryk i Euklid I, Def. 8., naar det siges, at Vinklen er Holdningen (xÅtø«;) af del ene rette eller krumme Ben mod det andet, den sidste, naar „Alm. Begreber“ 7.-8. lægges til Grund for Sammenligningen mellem Vinklers Størrelser, og naar disse subtraheres som i det efter Aristoteles anførte Bevis, S. 98 (296). Kun for retlinede Vinkler vil de to Betragtninger give samme Resultat. Det er ogsaa den sidste Opfattelse, som Rubin lægger til Grund for sine For- søg paa experimentalt al bestemme den retlinede Vinkel, som vil synsopleves som ligestor med en forelagt krumlinet Vinkel. Man vil være udsal for, at Forsøgsper- sonerne trods al Instruktion vil gøre sig skyldige i den samme Sammenblanding af Konturvinkel og Fladevinke], som vi talte om, og Spørgsmaalet er i det hele saa kompliceret, at Besvarelserne paa Grund af forskellig Opfattelse af Instruktionerne og forskellig Sansning rimeligvis vil blive ret individuelle. At den sidste Forskel- lighed vil gøre sig gældende, ses ved al reducere Spørgsmaalet til det rent fysio- logiske om Sansning med et enkeil Øje, der fra given Afstand ser i en given Retning. Vi vil antage, al Øjet befinder sig i given Afstand fra Vinklens Plan, lodret over Vinkelspidsen, og at det ser lige ned mod denne, og at a er Radius i den Cir- kel, som Øjet da overhovedet kan sanse i Planen ’). I denne bruger vi polære Koor- dinater med Polen i Vinkelspidsen og anlager, at Vinkelbenene er bestemte ved Ligningerne ft = <p (r) og # —w(r). Ved /'(r) vil vi betegne den Tydelighed, hvor- med man vilde se et Element af Størrelsen 1., hvis dette kunde koncentreres i Af- standen r. Da vil vi kunne bestemme Vinklen v opfattet som Fladevinkel ved Integralet p = _ ^(r))rc/r. Delle vil føre til den sædvanlige Bestemmelse af Forholdet mellem retlinede Vi gør den rent fysiologiske Forudsætning, at baade denne Flade er en Cirkel, og at de lige tydelig sansede Punkter af denne ligger paa koncentriske Cirkler; om denne Forudsætning er rigtig, maa kunne undersøges ved at prøve de deraf afledede Kesultater. Er den det ikke, kompliceres For- holdene yderligere.