Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

302 XI. Kapitel. 104 Vinkler, idet da ^(r)— ^(r) bliver uafhængig af r, og a kun indgaar i den for alle Vinklerne fælles Faktor \ f(r)rdr. Er derimod en af de Vinkler, hvis Forhold be- stemmes, krumlinet, vil Radius a for Synsfeltet indgaa i dette Forhold, a svarer imidlertid til en bestemt Afstand for Øjepunktet. Skulde en friere Synsoplevelse give en bestemt Værdi for p’s Forhold til en Vinkelenhed, maatte der være en be- stemt Afstand, som betragtedes som den normale. Denne vilde være forskellig for nær- og fjernsynede Øjne. Efter Øjets Beskaffenhed vilde den til en given Afstand svarende Værdi af a og Funktionen /*(/•) rimeligvis ogsaa blive forskellige. Der er altsaa ingen Udsigt til, at man gennem Synsoplevelse vil komme til nogen fælles Vurdering af krumlinede Fladevinklers Størrelse. Dette hindrer ikke, at man kan komme overens om en til det opstillede Inte- gral knyttet mathematisk Bestemmelse, hvor Forholdet mellem de Grænseværdier, som Integralerne antager for lim. a = 0, opfattes som Forholdet mellem Vinklerne. Vinkler mellem Kurver, der berører hinanden, vil da afhænge af Kurvernes Krum- ning. Denne Indskrænkning til lim. a = 0, vil imidlertid være en Opgivelse af Be- tragtningen af en endelig Udstrækning af Fladevinklen eller Takken og udelukkende knyttes lil Konturen, og den hele Betragtning har, foruden den Ombytning af Vink- ler mellem hinanden skærende Kurver med Vinkler mellem deres Tangenler, som Euklid burde have fastholdt, ingen Tilknytning lil opbevarede antike Undersøgelser. Kap. XI. Bevisers Almindeliggørelse; infinitesimale Opgaver. En Hovedbetingelse for, at den omformede Geometri virkelig skulde blive rationel, var selvfølgelig Brug af fuldt ud almindelige Beviser, som ikke paa noget Punkt nøjedes med ufuldstændige Induktioner, heller ikke saadanne, hvor der sluttes til den fulde Almindelighed fra uendelig mange uendelig læt paa hinanden følgende Tilfælde. En saadan Slutning vil gøres, naar en Sætning bevises under den For- udsætning, at de deri indgaaende Størrelser er kommensurable, og den dernæst be- tragtes som gældende uden denne Indskrænkning. Ligeledes, naar man i de infini- tesimale Undersøgelser uden nogen strengt kontrolleret Grænseovergang •anvender paa Grænsetilfælde, hvad der kun er bevist om Størrelser, der nærmer sig lil en vis Grænse. Selve Opdagelsen af irrationale Størrelser maatte dog tidlig henlede Opmærksomheden paa Utilstrækkeligheden af saadanne Beviser, og denne Util- strækkelighed stilledes til Skue ved Zenon’s Paradoxer. Der krævedes dog en læn- gere Udvikling, under hvilken man gik frem saavel i Paavisningen af forskellige