Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

105 Bevisers Almindeliggørelse; infinitesimale Opgaver. 303 Størrelsers Irrationalitet som i den almindelige Behandling baade af irrationale Størrelser og af infinitesimale Bestemmelser, der bar god Frugt, selv om den ikke var helt exakt, før de paapegede Mangler kunde blive fuldt forstaaede og afhjulpne. Med denne Udvikling og dens Afslutning ved den Behandling, som findes i Euklid’s Elementer har jeg beskæftiget mig i de mindre Arbejder, som lindes anført S. 12 (210) Note 1, og jeg har paavist, hvorledes de her omtalte Hensyn har givet Euklid Anledning til hans Fordeling af sil Stof i de 13 Bøger. Jeg har ogsaa anført, al det er Eudoxos, hvem Grundlaget for denne Behand- ling skyldes. Han levede jo imidlertid netop ved Begyndelsen af den Tid fra Pla- ton til Euklid, hvis Reformer vi her særlig undersøger. Det vil derfor ogsaa nok være værd at faa Oplysninger om, hvorvidt Eudoxos selv i det væsentlige har givel Behandlingen af de paagældende Spørgsmaal den Skikkelse, som vi finder hos Euklid, eller om en videre Udvikling har fundet Sted i Mellemtiden eller fra den sidstes Side, ligeledes om muligvis noget Skridt paa denne Vej maatte være gjort før Eudoxos. Meget lader sig ikke sige herom, men et Bidrag faas dog ved de mathematiske Steder hos Aristoteles,- som Heiberg har samlet i „Mathematisches zu Abistoteles“, særlig dem, som findes S. 11 og S. 22—23. For nu at gøre den rette Brug af disse vil det være godt først at anføre de Steder hos Euklid, hvorpaa han bygger Læren om Forhold mellem inkommen- surable Størrelser og de infinitesimale Bestemmelser, og at nævne de Anvendelser, som Euklid gør deraf. V, Def. 4. udtaler, at Størrelser siges „at have et Forhold, naar de ved at mangfoldiggøres kan overgaa hinanden“. — For at tale om Forhold mellem to forelagte Størrelser eller maale dem med hinanden, maa man altsaa vide eller po- stulere om dem, at de tilfredsstiller denne Betingelse. Dertil kræves ikke alene, at de er af samme Art, men ogsaa, som vi har set ved hornformede Vinkler, at den ene ikke er at betragte som forsvindende i Forhold til den anden. Af delte Postulat udledes Sætning X, 1: „Naar der er afsat to ulige store Stør- relser, og der fra den største trækkes en, der er større end Halvdelen, og fra Resien en, der er større end dens Halvdel, og man bliver ved med det, vil der blive en eller anden Størrelse til Rest, som vil være mindre end den afsatte mindste Stør- relse“. — At Størrelserne er „afsatte“ (som Liniestykker), viser, at Talen er om Slørreiser, der efter V, Def. 4. „har el Forhold“. Vi skal straks vende tilbage til den Brug, som i selve X. Bog gøres af X, 1. I XII. Bog lægger Euklid den til Grund for de infinitesimale Grænsebestemmelser af Forholdet mellem to Cirkelarealer (2.) eller Kuglevoluminer (18.), og i 5. bruges den lil al forberede Bestemmelsen af Forholdet mellem en Pyramide eller Kegle og Prismet eller Cylinderen paa samme Grundflade. Den bliver særlig skikket til saadanne Grænseovergange, da den kan bruges til al gøre en passende valgt for- anderlig Størrelse mindre end enhver opgiven Størrelse. Naar saaledes Forholdet mellem to variable Størrelser altid har Værdien B, og man kan bevise, at disse Størrelser kan vælges saaledes, al Differensen mellem deres Forhold og det ube- L>. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8. Kække, 1.5- ^0