Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

304 XI. Kapitel. 106 kendte Forhold A mellem to forelagte Størrelser i hvert Fald kan gøres mindre end enhver given Størrelse, saa maa denne Differens være 0 eller A = B. Dette bevises ved en reductio ad absurdum, idet den Antagelse, at A — B =}= 0 vilde føre til en Selvmodsigelse. Archimedes bevidner saavel i Indledningen til Skriftet om Kuglen og Cylin- deren som i Ephodos, at Eudoxos først har ført et exakt Bevis for en af de anførte Sætninger, nemlig den om Pyramiden og Keglen. I Ephodos meddeler han tillige, at Demokritos tidligere havde opstillet denne Sætning, men uden et saadant Bevis, som man paa Archimedes’ Tid vilde anse for fyldestgørende. Som fyldestgørende anser han derimod Eudoxos’ Bevis, og dette maa i Hovedsagen være ført efter det samme Princip, som han selv følger i sine egne Beviser. Dette Princip anfører han i Indledningen til Skriftet om Parablens Kvadratur, hvor han tillige omtaler de nysnævnte tidligere Anvendelser, som findes hos Euklid. Umiddelbart er gan- ske vist det af Archimedes anførte Princip det, som findes i Euklid V, Def. 4.; men da X, 1. er udledet deraf, er det i Hovedsagen ogsaa del samme, som vi fandt anvendt i Euklid XII. Selv giver dog Archimedes sine Beviser en elegant Form, der ikke bygger paa Euklid X, 1, men umiddelbart paa det i V, Def. 4. udtrykle Princip, hvorom han minder. Fra Archimedes ved vi altsaa, at den af Euklid og ham selv anvendte For- mulering af en exakt Grænseovergang skyldes Eudoxos og af denne er anvendt i de af Euklid behandlede Tilfælde. Derfor behøver Eudoxos ikke at have behandlet disse ganske paa samme Maade som Euklid. Han kan f. Eks. godt, som Demo- kritos synes at have gjort, have anvendt Delingen af Pyramider og Kegler ved Snit parallele med Grundfladen og ikke som Euklid en uendelig Række Prismer af aftagende Størrelse indskrevne i den tresidede Pyramide. Det nye, som skyldtes Eudoxos, var det opstillede Grundlag for en exakt Behandling, hvorimod egentlige geometriske Operationer allerede før Eudoxos og Platon var naaet vidt nok til, at man kunde finde forskellige geometriske Former for Tilnærmelsen. Den i Euklid XII. benyttede Methode lod sig imidlertid ikke blot anvende, naar Talen er om Tilnærmelse til en bestemt angivet Grænse, men ogsaa til at sammenligne to Grænseværdier. Da disse ikke som i moderne Behandling udeluk- kende defineres ved selve Grænseovergangen, men betragtes som exislerende i Kraft af den geometriske Fremstilling, (2 f. Ex. som Forhold mellem Diagonal og Side i et Kvadrat, kan vi kalde Grænseværdierne A og B og forudsætte, at A' og \B' er Størrelser, der samtidig antager saadanne Værdier, som tilfredsstiller Betingelserne A' = A i k, B' = B 4 Z, hvor k og l kan gøres mindre end enhver opgiven Grænse. Er da samtidig A' = B', maa man have A = B. Ogsaa herved gælder del kun om at bevise Grænseovergangen for A' og Br, hvortil atter X, 1 kan benyttes. Paa lig- nende Maade kan man bevise A > B, naar A' — B' vedblivende er større end en given Størrelse. Dette kan anvendes til at sammenligne Forhold mellem inkommensurable Størrelser; men herpaa tager Euklid dog fat paa en anden Maade. I sin V. Bog,