Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab
Forfatter: H.G. Zeuthen
År: 1917
Forlag: Bianco Lunos Bogtrykkeri
Sted: København
Sider: 181
UDK: 510
Søgning i bogen
Den bedste måde at søge i bogen er ved at downloade PDF'en og søge i den.
Derved får du fremhævet ordene visuelt direkte på billedet af siden.
Digitaliseret bog
Bogens tekst er maskinlæst, så der kan være en del fejl og mangler.
304
XI. Kapitel.
106
kendte Forhold A mellem to forelagte Størrelser i hvert Fald kan gøres mindre
end enhver given Størrelse, saa maa denne Differens være 0 eller A = B. Dette
bevises ved en reductio ad absurdum, idet den Antagelse, at A — B =}= 0 vilde føre
til en Selvmodsigelse.
Archimedes bevidner saavel i Indledningen til Skriftet om Kuglen og Cylin-
deren som i Ephodos, at Eudoxos først har ført et exakt Bevis for en af de anførte
Sætninger, nemlig den om Pyramiden og Keglen. I Ephodos meddeler han tillige,
at Demokritos tidligere havde opstillet denne Sætning, men uden et saadant Bevis,
som man paa Archimedes’ Tid vilde anse for fyldestgørende. Som fyldestgørende
anser han derimod Eudoxos’ Bevis, og dette maa i Hovedsagen være ført efter det
samme Princip, som han selv følger i sine egne Beviser. Dette Princip anfører
han i Indledningen til Skriftet om Parablens Kvadratur, hvor han tillige omtaler
de nysnævnte tidligere Anvendelser, som findes hos Euklid. Umiddelbart er gan-
ske vist det af Archimedes anførte Princip det, som findes i Euklid V, Def. 4.;
men da X, 1. er udledet deraf, er det i Hovedsagen ogsaa del samme, som vi fandt
anvendt i Euklid XII. Selv giver dog Archimedes sine Beviser en elegant Form,
der ikke bygger paa Euklid X, 1, men umiddelbart paa det i V, Def. 4. udtrykle
Princip, hvorom han minder.
Fra Archimedes ved vi altsaa, at den af Euklid og ham selv anvendte For-
mulering af en exakt Grænseovergang skyldes Eudoxos og af denne er anvendt i
de af Euklid behandlede Tilfælde. Derfor behøver Eudoxos ikke at have behandlet
disse ganske paa samme Maade som Euklid. Han kan f. Eks. godt, som Demo-
kritos synes at have gjort, have anvendt Delingen af Pyramider og Kegler ved
Snit parallele med Grundfladen og ikke som Euklid en uendelig Række Prismer
af aftagende Størrelse indskrevne i den tresidede Pyramide. Det nye, som skyldtes
Eudoxos, var det opstillede Grundlag for en exakt Behandling, hvorimod egentlige
geometriske Operationer allerede før Eudoxos og Platon var naaet vidt nok til,
at man kunde finde forskellige geometriske Former for Tilnærmelsen.
Den i Euklid XII. benyttede Methode lod sig imidlertid ikke blot anvende,
naar Talen er om Tilnærmelse til en bestemt angivet Grænse, men ogsaa til at
sammenligne to Grænseværdier. Da disse ikke som i moderne Behandling udeluk-
kende defineres ved selve Grænseovergangen, men betragtes som exislerende i Kraft
af den geometriske Fremstilling, (2 f. Ex. som Forhold mellem Diagonal og Side i
et Kvadrat, kan vi kalde Grænseværdierne A og B og forudsætte, at A' og \B' er
Størrelser, der samtidig antager saadanne Værdier, som tilfredsstiller Betingelserne
A' = A i k, B' = B 4 Z, hvor k og l kan gøres mindre end enhver opgiven Grænse.
Er da samtidig A' = B', maa man have A = B. Ogsaa herved gælder del kun om
at bevise Grænseovergangen for A' og Br, hvortil atter X, 1 kan benyttes. Paa lig-
nende Maade kan man bevise A > B, naar A' — B' vedblivende er større end en
given Størrelse.
Dette kan anvendes til at sammenligne Forhold mellem inkommensurable
Størrelser; men herpaa tager Euklid dog fat paa en anden Maade. I sin V. Bog,