Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

107 Bevisers Almindeliggørelse; infinitesimale Opgaver. 305 hvis Forhold har ganske samme Betydning som den moderne Mathematiks alminde- liggjorte Tal, opnaar han dette ved en elegant Brug af V. Def. 4., som staar i samme Forhold til den her nævnte Grænsemethode, som Dedekind’s Snitmethode staar til moderne Anvendelser af Grænsemethoden. Dette opnaas ved Hjælp af Definitionerne 5. og 7. i V. Bog, som udtrykker Betingelserne for Ligestorhed eller Uligestorhed af to Forhold. Ved Brug af moderne Tegn kan disse udtrykkes saaledes: a : b = c : d naar (5.) for alle hele Tal in og n ma=^nb medfører inc^nd-, og a : b > c : d naar der (7.) gives saadanne hele Tal m og n, at ma > nb, men me < nd. Det er paa disse Bestemmelser, at Proporlionslæren i V. Bog er bygget. I den moderne Mathematik er man gaaet følgende Skridt. Først har man nøjedes med en ubevist Grænseovergang fra, hvad der er bevist om rationale Tal (Forhold mellem kommensurable Størrelser) til Anvendelser paa irrationale. Der- næst har man benyttet samme Overgang med Bevis for dens Rigtighed. Endelig har man anvendt Dedekind’s Snitmethode. I Oldtiden har man — „selvfølgelig“ kan det næsten siges — begyndt med det første Skridt, om man end niere eller mindre kan have skjult Manglen paa egentligt Bevis for sig selv ved Brug af den geometriske Fremstilling1), der samtidig omfatter irrationale og rationale Størrelser. Zenon’s Paradoxer viser den logiske Utilslrækkelighed af denne Fremgangsmaade, som Mathematikerne dog ikke kunde undvære, saalænge de ikke havde nogen anden. Del l red i e Skridt, hvor V, Def. 4. bruges, er gjort i Euklid s V. Bog. Det ligger dog ikke fjernt al antage, at ogsaa Grækerne først er naaet dertil gennem det afos betegnede andet Skridt som et Mellemstadium, paa hvilket de har bevist selve Grænseovergangen ved Hjælp af Euklid X, 1. Dette vilde ganske svare til de Skridt, der lader sig eftervise for infinitesimale Bestemmelsers Vedkommende, nemlig 1. ubeviste Grænseovergange som Demokrit’s for Pyramide og Kegle og de langt ældre (se S. 88 (286)), hvorved man i sin Tid har sluttet Cirkelperiferiers Proportionalitet med Diametren, Cirklernes med Kvadraterne paa Diametrene; 2. Grænseovergange beviste ved Euklid X, 1. som i Euklid XII; 3. Grænseovergange omdannede og be- viste ved Euklid V, Def. 4. som hos Archimedes. Del lader sig nu virkelig ved Hjælp af de af Heiberg anførte Steder hos Ari- stoteles eftervise, al man ogsaa for Forhold mellem inkommensurable Størrelser til en Tid har benyttet den anførte Mellemform: Grænseovergang bevist ved Eu- klid X, 1., som da paa sin Side enten kan være udledet af Euklid V, Def. 4., der i saa Fald maalte være opstillet forud, eller snarere tidligere direkte opstillet som et Postulat. Vi skal først nævne, at Aristoteles viser sit Kendskab til begge disse Ud- >) Se Oversigt 1915 S. 338, Note. 40*