Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

306 XI. Kapitel. 108 gangspunkter for exakte Infinitesimal- eller Grænsebesteniinelser ved 266b, 2 at sige, at man, naar en Størrelse er given, ved at lægge til kan overskride og ved at trække fra naa under enhver given Grænse. El andet Sted baade fremhæver han Nød- vendigheden af nøjagtig at definere, hvad man mener med at sætte lo Forhold mel- lem inkommensurable Størrelser lige store, og lægger samtidig for Dagen, til hvil- ken Definition han sigter. Han siger nemlig 158b29: eotxe Se. xat év wiq paSrpiaatv évta St bptapoo eÅÅeuptv ob paSiwq ypatpeadaty otov xa't oti t] itapa TTjV nÅeopav zépvooaa to eirtneSov opoiaiQ Statpei vfjv re ypapp^v xat to yiopiov. too Se. bptapoo ptrftévToq éobéojq tpavepbv to Åeybpevov' vqv yap aovr^v avravalpeatv 'é'/et Ta /oipta xat at ypappat^ éau S'bptapbq TOO aÖTOO ÅO/OO OOTOQ. Ogsaa i Mathematiken synes et og andet al være vanskeligt al fremstille paa Grund af Mangel paa Definition, f. Ex. al den Linie, der skærer et Parallelogram paral- lelt med en Side, deler baade Linien [o: en af de andre Sider] og Fladen paa samme Maade [□: proportionalt]. Men naar De- finitionen er udtalt, er Sætningen straks indlysende; thi Fladerne og Linierne har samme Antanairesis og dette er Defini- tionen paa samme Forhold [Proportio- nalitet]. Kunstordet SvTavatpeaiq gengives af Aristoteles’ Kommentator Alexandros (in Top. S. 545,15 ed. Wallies) ved Ordet dvSotpatpeatq, som i Euklid VII, 2 og X, 2 bruges om de Subtraktioner, som anvendes ved den sædvanlige Bestemmelse af største fælles Maal. Da de dertil tjenende Operationer er de samme, som nu bruges ved Udvikling i Kædebrøk, kan man, selv om Grækerne, der jo paa den Tid end ikke brugte Brøksform (S. 17 (215)), ikke kendte til nogen Opstilling som Kæde- brøk, noget frit oversætte Antanairesis ved „Udvikling i Kædebrøk“. De nævnle Steder anvendes denne Operation til at prøve, om to Størrelser er kommensurable eller inkommensurable. Det sidste vil være Tilfældet, naar Operationen ikke kan bringes til Ende. Dette er en speciel Form for den her fremsatte Definition paa Ligestorhed af Forhold; thi at to Størrelser har en Antanairesis, som ikl>e kan føres til Ende, tilkendegiver netop, at deres Forhold ikke tilfredsstiller Betingelsen for at være ligestort med Forholdet mellem to hele Tal, da dette har en endelig Antanaire- sis. Idet nu efter Aristoteles ogsaa i Almindelighed Ligestorheden prøves ved den fort- satte Overensstemmelse mellem de paa Forholdene anvendte Antanaireses, altsaa ogsaa mellem de Kædebrøker, som faas ved at standse disse paa samme Sted, udtrykker Definitionen, at man bestemmer Værdien af et Forhold som Grænseværdien for de af Forholdet dannede Kædebrøkskonvergenter. Dermed har man altsaa i hvert Fald det første af de forannævnte Trin. Dette kan man fra først af have troet tilstrækkeligt, idet man formente, at Tilnær- melsesbrøkerne virkelig gav en saadan Bestemmelse af Grænseværdierne, at man af de førstes Ligestorhed eller Uligestorhed umiddelbart kunde slutte de sidstes, med andre Ord, at en given Antanairesis repræsenterer en derved fuldkommen bestemt