Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

109 Bevisers Almindeliggørelse; infinitesimale Opgaver. 307 Størrelse. Al nu dog denne Formening kræver et Bevis, har man, som Begyndelsen af Euklid’s X. Bog viser, erkendt allerede i det førnævnte specielle Tilfælde, idet Sætningen X, 1. eller (hvad den maatte være, saalænge den ikke udlededes af V., Def. 4.) „Postulatet“ X, 1. er sat i Spidsen som Grundlag for Beviset for, at lo Stør- relser, der giver en uendelig Antanairesis, er inkommensurable. Saa meget mere nødvendigt var det ogsaa al bygge den almindelige Paastand om Ligestorhed af For- hold med samme Antanairesis paa samme Forudsætning. Dermed var del andet Trin, bevist Grænseovergang, naaet. Al dette allerede var sket paa Aristoteles’ Tid *), fremgaar af hans alt omtalte Kendskab lil Euklid V, Def. 4. og X, 1. Vor Formodning om, at den græske Mathematik ogsaa har taget dette Mellem- trin med, inden den naaede til V. Bogs Bestemmelse af Ligestorhed af Forhold, har altsaa bekræftet sig. Idet Alexandros paa det nys anførte, af Heiberg citerede, Sted gentager Aristoteles’ Definition paa lige store Forhold, meddeler han, at de gamle (o? d.p^dxoi) brugte den. Dette er saaledes sket, før man gik over til den Definition, som opstilles i Euklid V, Def. 5., og dermed til det af os betegnede l red ie Trin. Forskellen mellem den hos Aristoteles og hos Euklid angivne Definition kan betegnes som en Forskel mellem Analyse og Synthese. Ved at anvende en Antanairesis paa Forholdet mellem lo forelagte Størrelser anvender man samme Operation, som naar Forholdet mellem to kommensurable Størrelser skal forkortes, til muligvis at sætte simplere Forhold i Stedet. Det sker ved Divisioner, eller ved sukeessivt at subtrahere Multipla af den ene fra den anden. Er Slørreiserne inkom- mensurable, lykkes det ikke al komme til Ende hermed; men to Forholds Lige- storhed viser sig ved, al Operationen anvendt paa dem stadig giver samme Resul- tater. Om den derved konstaterede Ligestorhed, som er fundet ved gentagne Divi- sioner, er tilstede, kan man omvendt prøve ved Multiplikation af Forholdenes Led. Derved kommer man lil den euklidiske Definition V, 5. paa Forholdenes Lige- storhed, som giver den synlheliske Prøve paa Resultatet af den nævnte Analyse- Al den kan gennemføres, er sikret ved Definition V, 4.; denne udtrykker, al man ved Multiplikation af en Størrelse kan naa udover en anden, og giver saaledes en Prøve paa X, 1., der udtrykker, at man ved sukeessive Subtraktioner eller en der- med ensgældende Division af den anden kan naa ned under den første. Stedet hos Aristoteles gør det sandsynligt, at endnu Theudios har anvendt den „archaiske“ Definition paa Ligestorheden af to Forhold* 2). Denne har let kun- net anvendes til at bevise Sætninger om Proportionalitet af geometriske Størrelser; saaledes kan man i del af Aristoteles nævnte Exempel se, at de til Forholdet Herved bortfalder den Formodning, soin jeg fremsætter i Oversigt 1915 S. 354, om at muligvis først Euklid skulde have bemærket Nødvendigheden af at anvende X, 1 til at begrunde det af Theodoros og Theaitet anvendte Kendetegn paa Inkomniensurabilitet. Dette turde tværtimod have været et af de første Tilfælde, hvor man har set Nødvendigheden af et Bevis for den benyttede Grænseovergang. 2) Hermed passer ogsaa de i Heiberg: Mathematisches zu Aristoteles S. 11 anførte Steder lige- saa godt som med Anvendelse af den euklidiske Proportionalere,