Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

308 XI. Kapitel. 110 mellem Sider og Forholdet mellem Arealer hørende Antanaireses følger hinanden Skridt for Skridt, og paa lignende Maade gaar det med de fleste af de i Euklid VI opstillede Sætninger, der direkte angaar Proportionalitet og Ligedannethed. Men Antanairesis er i sig selv en vidtløftig Operation og giver derfor et mindre over- skueligt Kendemærke end den i Euklid V, Def. 5. angivne Multiplikationsprøve. Den sidstes Anvendelse paa et bestemt Tilfælde lader sig derfor udtrykke med større Præcision. Og at bygge en saa almindelig og abstrakt Lære om Propor- tioner og disses Omdannelse som den, vi finder i Euklid’s V. Bog, paa gentagen Anvendelse af Antanairesis turde blive vidtløftigt og er næppe gennemført. Euklid’s Proportionslære beror derimod paa en konsekvent gennemført Brug af den i V, Def. 5. og 7. nøjagtig beskrevne Multiplikationsprøve. Naar derfor Hei- berg i denne nærmest blotser en bedre Formulering af den Prøve paa Ligestorhed af Forhold, som findes hos Aristoteles, og mener, at denne Forbedring kunde skyldes Euklid, vilde dette føre til en Konsekvens, som Heiberg vel næppe vilde tage, nemlig at det Mesterstykke, som Proportionslæren i V. Bog er, hovedsagelig skulde skyldes Euklid tværtimod den Tradition, som fører den tilbage til Eudoxos. Denne Tradition, der kommer til Orde i et Scholie til Euklid’s Elementer1'), turde i alt Fald være rigtig for Grundlagets Vedkommende, hvad der ogsaa stemmer med, at Archimedes, der nævner Eudoxos som den, der har opstillet Grundlaget for Infini- tesimalundersøgelser, andetsteds meddeler det dertil tjenende Postulat i den Form, som det har i V. Bog, medens Eudoxos udenfor Proportionslæren rimeligvis, sorn Euklid i XII. Bog, har anvendt dets Omdannelse til X, 1. Den Omstændighed, al Aristoteles dog ikke viser noget Kendskab til den Form for Proportionslæren, som er gennemført hos Euklid, men holder sig til den „archaiske“ Definition paa Proportioner, kan maaske forklares saaledes, at den nye Definition vel var opstillet af Eudoxos indenfor Mathemalikernes Kreds og dens Brugbarhed som Grundlag for en fuldstændig Proportionslære paavist, men al en saadan endnu ikke var udviklet saaledes i sin fulde Sammenhæng, al Theudios kunde bruge den i sine Elementer, og at Aristoteles kendte den eller kunde hen- vise sine Disciple til den som Exempel. Hertil var da den ældre og niere kendte •Definition bedre egnet. Muligheden, ja, Rimeligheden for, at der gik nogen Tid mellem Eudoxos’ Opstilling af en ny Definition og en fuldstændig gennemført Brug af denne, fremgaar ved en Sammenligning med Nutiden, hvor Dedekind’s Opstil- ling af Snitmethoden jo ikke straks medførte en gennemført Brug deraf i alle de Tilfælde, for hvilke den er bestemt. Eudoxos kan derfor godt være Grundlægger af den i Euklid V. indeholdte Proportionslære, medens en af hans Efterfølgere, rimeligvis Euklid, har Æren for den konsekvente Gennemførelse af denne Lære, som vi finder paa det anførte Sted. Et uundværligt2) Supplement til denne Lære, ’) Heiberg’s Udgave af Euklid, V. S. 282,13. Det kan dog tænkes, at Schoiiasten støtter sin An- givelse paa det samme Sted lios Ahchimedes, som vi ogsaa her henviser til. 2) Herpaa gøres ogsaa opmærksom i min „Forelæsning over Mathematiken» Historie“. (Dansk Ud- gave S. 127, Tysk S. 145, Fransk S. 119), hvor Brugen af sammensatte Forhold tillige paavises.