Hvorledes Mathematiken I Tiden Fra Platon Til Euklid Blev Rationel Videnskab

Ill Bevisers Almindeliggørelse; infinitesimale Opgaver. 309 der som Existensbevis efter det først ved Eudoxos’ Discipel Menaichmos indførte Princip maatte føres ved en geometrisk Konstruktion og derfor henvises Lil VI. Bog, maa særlig antages at skyldes Euklid. Det vedrører el Hovedpunkt af Proportions- læren, nemlig Dannelsen af sammensatte Forhold Euklid V., 22. (og 23.), denne Form, hvorunder Multiplikation (og Division) af de ved Forhold fremstillede rene Tal (i moderne Betydning) udføres. Ved Sammensætning af to Forhold forudsættes del nemlig, at man har givet dem Formerne a : b og b : c, og det sammensatte For- hold bliver da a: c. For altsaa at kunne anvende Sammensætningen paa et vil- kaarligt Forhold e: [ maa dette kunne skrives under Formen b : c. Dette bevises i Euklid VI, 12. ved Konstruktion af fjerde Proportional til e, f og b. Ligeledes vises Existensen af en Mellemproportional i VI, 13. ved dens geometriske Konstruktion. Kan der saaledes ikke siges noget bestemt om, hvor langt frem Eudoxos har ført Proportionslæren, kan der ogsaa være nogen Tvivl om, paa hvor tidligt et Trin, han har grebet ind. Theaitet, der, rimeligvis i Tilslutning til Theodoros, har benyttet Antanairesis som Kendetegn paa, om to Størrelser er kommensurable eller ej (Oversigt 1915, S. 356), maa have anvendt den samme Proces til at prøve, om to Forhold er ligestore eller uligestore, et Spørgsmaal, som han for Anvendel- sernes Skyld ikke kan have ladet ubesvaret. Om hans Behandling af Proportioner dermed har slaaet paa det første eller andet af de af os betegnede Trin, beror dels paa, om han blot stiltiende har benyttet dette Kendetegn eller udtrykkelig ud- talt det, dels paa, om han har været opmærksom paa, al Brugbarlieden af delte Kendetegn saavel som det i Euklid X, 2. opstillede Kendetegn paa Inkommensur- abililel afhænger af en Anerkendelse af den i Euklid X, 1. opstillede Sætning, og om han udtrykkelig har opstillet denne. I saa Fald har det dog vistnok været som Postulat; thi der er næppe Grund til at tro andel, end at det er Eudoxos, der ved en yderligere Analyse har fundet, at man kan gaa tilbage til det i V, Def. 4. op- stillede Postulat og deraf udlede X, 1. som Sætning. AL det i hvert Fald er Eudoxos, der udenfor Proportionslæren har anvendt X, 1. til saadanne infinitesimale Bestem- melser som dem i Euklid XII, er efter Archimedes’ Vidnesbyrd ganske utvivlsomt. Som man vil se, er del kun Spørgsmaal om de enkelte Personers Andel i de forskellige Fremskridt, der kan underkastes Tvivl. Saadanne vil imidlertid aldrig udeblive, naar forskellige Personer staar i nogen Forbindelse under deres Arbejde paa samme Sag (smign. Fremskridtene i det XVII. Aarhundrede). Den historiske Rækkefølge af selve Fremskridtene turde derimod være godt opklaret ved de spar- somme Oplysninger, som vi har oin den Tid, der gaar forud for Euklid’s Elementer. Af disse Oplysninger er det anvendte Sted hos Aristoteles et værdifuldt Led.